Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
u=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
u = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}.
Aqui o conteúdo é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia e, em seguida, montagem do Hessiano (matriz de segundas derivadas). Para simplificar, vamos chamar
r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}.

Passo 2

Vamos achar primeiro \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{i}} para i=1,2,3.
Aplicando a regra da cadeia a
u = r=\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\bigr)^{1/2},
temos
\frac{\partial u}{\partial x_{i}} = \frac{1}{2}\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\bigr)^{-1/2}\cdot 2x_{i} = \frac{x_{i}}{r}.

Passo 3

Agora a segunda derivada em relação à mesma variável, ou seja \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x_{i}^{2}}.
Partimos de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{i}} = x_{i}\,r^{-1}.
Diferenciando em relação a x_{i}:
\frac{\partial^2 u}{\partial x_{i}^{2}} = \frac{\partial}{\partial x_{i}}\bigl(x_{i}\,r^{-1}\bigr) = 1\cdot r^{-1} + x_{i}\,\bigl(-1\bigr)r^{-2}\frac{\partial r}{\partial x_{i}}.
Mas \displaystyle \frac{\partial r}{\partial x_{i}} = \frac{x_{i}}{r}, logo
\frac{\partial^2 u}{\partial x_{i}^{2}} = \frac{1}{r} - \frac{x_{i}^{2}}{r^{3}} = \frac{r^{2} - x_{i}^{2}}{r^{3}}.

Passo 4

Por fim, as derivadas mistas \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x_{i}\partial x_{j}} com i\neq j.
Começamos de \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{i}} = x_{i}\,r^{-1} e diferenciamos em relação a x_{j}:
\frac{\partial^2 u}{\partial x_{j}\partial x_{i}} = x_{i}\,\frac{\partial}{\partial x_{j}}\bigl(r^{-1}\bigr) = x_{i}\,\bigl(-1\bigr)r^{-2}\frac{\partial r}{\partial x_{j}} = -\,\frac{x_{i}\,x_{j}}{r^{3}}.

Resposta

Para r = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}:
\frac{\partial u}{\partial x_{i}} = \frac{x_{i}}{r}, \qquad \frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}^{2}} = \frac{r^{2} - x_{i}^{2}}{r^{3}}, \qquad \frac{\partial^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}} = -\,\frac{x_{i}\,x_{j}}{r^{3}} \quad(i\neq j).

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