Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função:
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y},
definida para x+y\neq0, e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar a regra do quociente para cada derivada.

Passo 2

Para as derivadas de primeira ordem, considere N(x,y)=x-y e D(x,y)=x+y.
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{N}{D}\Bigr) =\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2} =\frac{(1)(x+y)-(x-y)(1)}{(x+y)^2} =\frac{2y}{(x+y)^2},
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{N}{D}\Bigr) =\frac{N_y\,D - N\,D_y}{D^2} =\frac{(-1)(x+y)-(x-y)(1)}{(x+y)^2} =-\frac{2x}{(x+y)^2}.

Passo 3

Agora a segunda derivada em x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{2y}{(x+y)^2}\Bigr) =2y\cdot(-2)(x+y)^{-3}\cdot1 =-\frac{4y}{(x+y)^3}.

Passo 4

A derivada mista obtida diferenciando f_x em relação a y:
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{2y}{(x+y)^2}\Bigr) =2\,(x+y)^{-2}+2y\cdot(-2)(x+y)^{-3} =\frac{2(x+y)-4y}{(x+y)^3} =\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}.
Pelo teorema de Schwarz, f_{yx}=f_{xy}.

Passo 5

A segunda derivada em y:
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{2x}{(x+y)^2}\Bigr) =-2x\cdot(-2)(x+y)^{-3}\cdot1 =\frac{4x}{(x+y)^3}.

Resposta

f_x(x,y)=\dfrac{2y}{(x+y)^2} f_y(x,y)=-\dfrac{2x}{(x+y)^2} f_{xx}(x,y)=-\dfrac{4y}{(x+y)^3} f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=\dfrac{2(x-y)}{(x+y)^3} f_{yy}(x,y)=\dfrac{4x}{(x+y)^3}

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