Determine as derivadas parciais primeiras das funções a seguir.
Passo 1
Você pediu para determinar as derivadas parciais primeiras da função
.
Informações dadas: a fórmula explícita da função está acima.
Perguntas do enunciado: calcular e
.
Observação útil (não resolutiva): o argumento do é
, que é sempre positivo para todos
, então a função está bem definida em todo o plano.
Informações dadas: a fórmula explícita da função está acima.
Perguntas do enunciado: calcular
Observação útil (não resolutiva): o argumento do
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
significa: diferenciar
pensando em
como variável e mantendo
fixo (constante). Analogamente, a derivada parcial em relação a
é feita mantendo
fixo. Em notação:
e
. Isso é exatamente como derivar uma função de uma variável, só que a outra coordenada é tratada como constante.
A derivada parcial de
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (explicadas de leve e em forma prática):
- Regra do produto: se
, então
Aqui
e
são funções de
. A mesma fórmula vale trocando
por
.
2) Regra da cadeia para : se
, então
2) Regra da cadeia para
porque a derivada de
em relação a
é
.
3) Derivada simples: e
.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
3) Derivada simples:
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Passo 4
Aplicando a regra do produto para obter
.
Identificamos e
. Pela regra do produto:
Identificamos
Agora computamos cada termo separadamente.
Passo 5
Calcular os termos do passo anterior:
-
. - Para
usamos a regra da cadeia com . Então
Como
é tratado como constante,
. Logo
Passo 6
Substituímos esses resultados na expressão do passo 4:
Simplificando o segundo termo:
Portanto uma forma final é
Se quiser, pode fatorar
:
Passo 7
Agora calculamos
. Aqui
é constante em relação a
, então por simplicidade:
Aplicando a regra da cadeia com
e lembrando
, temos
Logo
Passo 8
Comentário sobre continuidade/diferenciabilidade: como
para todos
, as expressões acima são bem definidas e contínuas — a função é suave (infinitamente diferenciável) em todo
.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: em
temos
Isso mostra como calcular valores concretos na prova.