Determine as derivadas parciais primeiras das funções a seguir.
f(x, y)=x^{2} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

Você pediu para determinar as derivadas parciais primeiras da função f(x,y)=x^{2}\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr).
Informações dadas: a fórmula explícita da função está acima.
Perguntas do enunciado: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Observação útil (não resolutiva): o argumento do \ln é \,1+x^{2}+y^{2}, que é sempre positivo para todos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, então a função está bem definida em todo o plano.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de f em relação a \,x significa: diferenciar f pensando em x como variável e mantendo y fixo (constante). Analogamente, a derivada parcial em relação a y é feita mantendo x fixo. Em notação: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Isso é exatamente como derivar uma função de uma variável, só que a outra coordenada é tratada como constante.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de leve e em forma prática):
  1. Regra do produto: se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então
\frac{\partial g}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Aqui u e v são funções de (x,y). A mesma fórmula vale trocando x por y.
2) Regra da cadeia para \ln: se v(x,y)=\ln\bigl(w(x,y)\bigr), então
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{w(x,y)}\cdot\frac{\partial w}{\partial x},
porque a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t.
3) Derivada simples: \dfrac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x e \dfrac{\partial}{\partial y}y^{2}=2y.
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Aplicando a regra do produto para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Identificamos u(x,y)=x^{2} e v(x,y)=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr). Pela regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot \ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr) + x^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\left[\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)\right].
Agora computamos cada termo separadamente.

Passo 5

Calcular os termos do passo anterior:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x}\left[\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)\right] usamos a regra da cadeia com w(x,y)=1+x^{2}+y^{2}. Então
\frac{\partial}{\partial x}\left[\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)\right] = \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr).
Como y é tratado como constante, \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)=2x. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\left[\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)\right] = \frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Substituímos esses resultados na expressão do passo 4:
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\cdot \ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr) + x^{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}.
Simplificando o segundo termo:
x^{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}+y^{2}}=\frac{2x^{3}}{1+x^{2}+y^{2}}.
Portanto uma forma final é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr) + \frac{2x^{3}}{1+x^{2}+y^{2}}.
Se quiser, pode fatorar 2x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\left[\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)+\frac{x^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}\right].

Passo 7

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y}. Aqui x^{2} é constante em relação a y, então por simplicidade:
\frac{\partial f}{\partial y}= x^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\left[\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)\right].
Aplicando a regra da cadeia com w(x,y)=1+x^{2}+y^{2} e lembrando \dfrac{\partial w}{\partial y}=2y, temos
\frac{\partial}{\partial y}\left[\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)\right] = \frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^{2}\cdot\frac{2y}{1+x^{2}+y^{2}} = \frac{2x^{2}y}{1+x^{2}+y^{2}}.

Passo 8

Comentário sobre continuidade/diferenciabilidade: como 1+x^{2}+y^{2}>0 para todos (x,y), as expressões acima são bem definidas e contínuas — a função é suave (infinitamente diferenciável) em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: em (x,y)=(1,0) temos
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=2\cdot1\ln(1+1+0)+\frac{2\cdot1^{3}}{1+1+0}=2\ln 2 +1,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=\frac{2\cdot1^{2}\cdot 0}{1+1+0}=0.
Isso mostra como calcular valores concretos na prova.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)+\dfrac{2x^{3}}{1+x^{2}+y^{2}}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{2x^{2}y}{1+x^{2}+y^{2}}

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