Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
O Sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
O Sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o volume do sólido limitado pelas superfícies
(parabólica cilíndrica),
(plano inferior) e
(plano superior).\n
Informações dadas e consequências imediatas:
Informações dadas e consequências imediatas:
- O plano superior pode ser escrito como
, então a altura do sólido em cada ponto vale . - O plano
impõe a condição , o que implica ou seja . - A superfície
é a fronteira lateral; projetando o sólido no plano , obtemos a região
que é a região entre a parábola
e a reta horizontal
(com
variando de
a
).\n
Portanto o volume procurado é a integral dupla do comprimento vertical sobre a região
.
Portanto o volume procurado é a integral dupla do comprimento vertical
Passo 2
Formulação do volume como integral dupla e passagem a coordenadas polares.\n
Em coordenadas cartesianas o volume é
Em coordenadas cartesianas o volume é
Para usar coordenadas polares fazemos a mudança
e lembramos que o elemento de área muda para
(a razão é o fator jacobiano; pense em
como o pequeno “anel” na origem). Assim a integranda fica
e o integrando completo em polares é
.
Passo 3
Determinar a região
em coordenadas polares.\n
A condição da parábola vira, substituindo
e
:
A condição da parábola
Para
podemos dividir por
e obter
ou seja a interseção com a parábola ocorre em
. A condição
vira
Além disso precisamos de
para que
, então
fica no intervalo
.\n
Assim, para cada o limite radial superior é o mínimo entre
e
:
Assim, para cada
Para saber quando cada um domina comparamos as duas expressões:
Isto acontece quando
ou
. No intervalo intermediário
domina
.\n
Por simetria em relação ao eixo (o domínio é simétrico em
) é conveniente trabalhar apenas com
e multiplicar por 2. Em
temos a divisão:
Por simetria em relação ao eixo
- Para
: - Para
:
Passo 4
Montagem da integral em polares, aproveitando a simetria.\n
Usando a simetria em torno do eixo (fator
), o volume fica
Usando a simetria em torno do eixo
Calculemos a integral radial genérica
Aplicamos essa fórmula aos dois casos com os respectivos
.
Passo 5
Cálculo do termo com
(intervalo
).\n
Substituindo obtemos
Substituindo
Para integrar em
usamos a substituição
, então
. Os limites vão de
até
. Assim
Passo 6
Cálculo do termo com
(intervalo
).\n
Substituindo na expressão radial:
Substituindo
Integrando em
:
Passo 7
Somar as contribuições, multiplicar pela simetria e obter o volume final.\n
A soma das duas integrais no intervalo é
A soma das duas integrais no intervalo
Multiplicando pelo fator
(simetria para cobrir
) obtemos