Determine as derivadas parciais primeiras das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais primeiras da função dada. Informações fornecidas pelo enunciado:
.
Perguntas que temos que responder: calcular e
.
Perguntas que temos que responder: calcular
Passo 2
O que é derivada parcial? Vou explicar devagarinho: a derivada parcial de
em relação a
mede como
varia quando só alteramos
, mantendo
fixo. Formalmente,
Análogo para
, trocando o papel de
e
. Na prática de prova a gente usa regras usuais de derivação, tratando a outra variável como constante.
Também preciso da regra básica: a derivada de
é
, isto é,
E lembre: se multiplicamos por uma constante, a constante sai da derivada.
Passo 3
Calcular
. Observação importante: ao derivar em relação a
, a expressão
é constante (porque depende só de
). Então podemos escrever:
Trate
como constante
. Assim
Agora uso que
. Portanto
Normalmente escrevemos em ordem habitual:
Passo 4
Calcular
. Aqui, ao derivar em relação a
, a expressão
é constante. Escrevo:
e tratanto
como constante
, obtemos
Usando
, temos
Passo 5
Intuição e checagem rápida: a função é produto de duas ondas independentes em
e
. Faz sentido que a derivada parcial em
preserve o fator que depende só de
e multiplique pela derivada de
. Exemplo numérico rápido: em
,
Vai dando certo — respira, tamo junto 😃