Determine as derivadas parciais primeiras das funções a seguir.
f(x, y)=\operatorname{sen} x \operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais primeiras da função dada. Informações fornecidas pelo enunciado: \;f(x,y)=\operatorname{sen} x\,\operatorname{sen} y.
Perguntas que temos que responder: calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial? Vou explicar devagarinho: a derivada parcial de f em relação a x mede como f varia quando só alteramos x, mantendo y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Análogo para \partial f/\partial y, trocando o papel de x e y. Na prática de prova a gente usa regras usuais de derivação, tratando a outra variável como constante.
Também preciso da regra básica: a derivada de \sin é \cos, isto é,
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
E lembre: se multiplicamos por uma constante, a constante sai da derivada.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y). Observação importante: ao derivar em relação a x, a expressão \operatorname{sen} y é constante (porque depende só de y). Então podemos escrever:
f(x,y)=\operatorname{sen} x\cdot \operatorname{sen} y.
Trate \operatorname{sen} y como constante C. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\operatorname{sen} y\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big).
Agora uso que \tfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\operatorname{sen} y\cdot \cos x.
Normalmente escrevemos em ordem habitual:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos x\\ \operatorname{sen} y.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y). Aqui, ao derivar em relação a y, a expressão \operatorname{sen} x é constante. Escrevo:
f(x,y)=\operatorname{sen} x\cdot \operatorname{sen} y,
e tratanto \operatorname{sen} x como constante D, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\operatorname{sen} x\cdot\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen} y\big).
Usando \tfrac{d}{dy}\sin y=\cos y, temos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\operatorname{sen} x\cdot \cos y.

Passo 5

Intuição e checagem rápida: a função é produto de duas ondas independentes em x e y. Faz sentido que a derivada parcial em x preserve o fator que depende só de y e multiplique pela derivada de \sin x. Exemplo numérico rápido: em (x,y)=\big(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{6}\big),
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\!\tfrac{\pi}{2}\,\sin\!\tfrac{\pi}{6}=0\cdot\tfrac{1}{2}=0,
\frac{\partial f}{\partial y}=\sin\!\tfrac{\pi}{2}\,\cos\!\tfrac{\pi}{6}=1\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Vai dando certo — respira, tamo junto 😃

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos x\\ \operatorname{sen} y
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\operatorname{sen} x\\ \cos y

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