Determine as derivadas parciais com respeito a x, y e z das seguintes funções:
f(x, y, z)=a y^{2}+2 b y z+c z^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=a y^{2}+2 b y z+c z^{2},
onde a,b,c são constantes (parâmetros) e as variáveis independentes são x,y,z. O que se pede é: determinar as derivadas parciais de f em relação a x, em relação a y e em relação a z.

Passo 2

Definição e regras que vou usar (explicadas devagarinho).
  • A derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x muda e y,z ficam fixos. Em forma de limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Idêntico para \frac{\partial f}{\partial y} (fixando x,z) e para \frac{\partial f}{\partial z} (fixando x,y).
  • Regras úteis:
    1. Derivada da soma é soma das derivadas:
    \frac{\partial}{\partial u}\big(g_1+g_2\big)=\frac{\partial g_1}{\partial u}+\frac{\partial g_2}{\partial u}.
    1. Constante fator fora da derivada permanece multiplicando:
    \frac{\partial}{\partial u}\big(k\cdot g(u)\big)=k\cdot\frac{\partial g}{\partial u},quando k não depende de u.
    3. Regra potência (caso mais usado aqui): para função univariada g(t)=t^n, \frac{d}{dt}t^n=n t^{n-1}.
  • Interpretação prática: ao derivar em relação a uma variável, trato as outras como constantes e aplico as regras acima.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Observação: a expressão de f não contém x em nenhum termo — f é independente de x. Isso significa que, ao variar x mantendo y,z fixos, f não muda.
  • Usando a definição por diferença:
f(x+h,y,z)-f(x,y,z)=0,
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\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Vou derivar termo a termo, tratando x e z como constantes e lembrando que a,b,c são constantes.
  • Primeiro termo: \dfrac{\partial}{\partial y}\big(a y^{2}\big)=a\cdot\dfrac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=a\cdot 2y=2a y (usei a regra potência e fator constante).
  • Segundo termo: \dfrac{\partial}{\partial y}\big(2 b y z\big). Aqui 2b z é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(2 b y z\big)=2 b z\cdot\frac{d}{dy}(y)=2 b z.
  • Terceiro termo: \dfrac{\partial}{\partial y}\big(c z^{2}\big)=0, pois c z^{2} não depende de y (é constante quando y varia).
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=2a y + 2 b z.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Novamente, derivo termo a termo, agora tratando x e y como constantes.
  • Primeiro termo: \dfrac{\partial}{\partial z}\big(a y^{2}\big)=0, pois a y^{2} não depende de z.
  • Segundo termo: \dfrac{\partial}{\partial z}\big(2 b y z\big). Aqui 2 b y é constante em relação a z, então
\frac{\partial}{\partial z}\big(2 b y z\big)=2 b y\cdot\frac{d}{dz}(z)=2 b y.
  • Terceiro termo: \dfrac{\partial}{\partial z}\big(c z^{2}\big)=c\cdot 2 z=2 c z (regra potência).
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}=2 b y + 2 c z.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2a y + 2 b z
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2 b y + 2 c z

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