Determine as derivadas parciais com respeito a
e
das seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
são constantes (parâmetros) e as variáveis independentes são
. O que se pede é: determinar as derivadas parciais de
em relação a
, em relação a
e em relação a
.
Passo 2
Definição e regras que vou usar (explicadas devagarinho).
- A derivada parcial de
em relação a é a taxa de variação de quando só muda e ficam fixos. Em forma de limite:
Idêntico para
(fixando
) e para
(fixando
).
- Regras úteis:
- Derivada da soma é soma das derivadas:
- Constante fator fora da derivada permanece multiplicando:
quando não depende de .
3. Regra potência (caso mais usado aqui): para função univariada, - Interpretação prática: ao derivar em relação a uma variável, trato as outras como constantes e aplico as regras acima.
Passo 3
Cálculo de
.
- Observação: a expressão de
não contém em nenhum termo — é independente de . Isso significa que, ao variar mantendo fixos, não muda. - Usando a definição por diferença:
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Passo 4
Cálculo de
.
- Vou derivar termo a termo, tratando
e como constantes e lembrando que são constantes. - Primeiro termo:
(usei a regra potência e fator constante). - Segundo termo:
. Aqui é constante em relação a , então
- Terceiro termo:
, pois não depende de (é constante quando varia). - Somando:
Passo 5
Cálculo de
.
- Novamente, derivo termo a termo, agora tratando
e como constantes. - Primeiro termo:
, pois não depende de . - Segundo termo:
. Aqui é constante em relação a , então
- Terceiro termo:
(regra potência). - Somando: