Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} são iguais.
f(x, y)=x^{3}+x^{2} y^{2}+y^{3}+x+y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^{3}+x^{2}y^{2}+y^{3}+x+y
e que mostremos que as mistas f_{xy} e f_{yx} coincidem. Vamos usar definição de derivada parcial: ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, e vice-versa.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Ao derivar em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\bigr).
Como y é constante,
\frac{\partial f}{\partial x} =3x^{2}+2x\,y^{2}+0+1+0 =3x^{2}+2xy^{2}+1.
Ao derivar em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\bigr).
Como x é constante,
\frac{\partial f}{\partial y} =0+2x^{2}y+3y^{2}+0+1 =2x^{2}y+3y^{2}+1.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem puras.
Derivando \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2xy^{2}+1 em relação a x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =6x+2y^{2}.
Derivando \frac{\partial f}{\partial y}=2x^{2}y+3y^{2}+1 em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =2x^{2}+6y.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas.
Derivando \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2xy^{2}+1 em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+2xy^{2}+1\bigr) =4xy.
Derivando \frac{\partial f}{\partial y}=2x^{2}y+3y^{2}+1 em relação a x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y+3y^{2}+1\bigr) =4xy.

Passo 5

Comparando as duas mistas, vemos que
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x} =\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y}=4xy,
o que confirma a igualdade f_{xy}=f_{yx}.

Resposta

\displaystyle f_{xx}=6x+2y^{2},\quad f_{yy}=2x^{2}+6y,\quad f_{xy}=f_{yx}=4xy.

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