Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas
e
são iguais.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
e que mostremos que as mistas
e
coincidem. Vamos usar definição de derivada parcial: ao derivar em relação a
, tratamos
como constante, e vice-versa.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Ao derivar em relação a
:
Como
é constante,
Ao derivar em relação a
:
Como
é constante,
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem puras.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem mistas.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Comparando as duas mistas, vemos que
o que confirma a igualdade
.