Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} são iguais.
f(x, y)=\ln \left(1+x^{2} y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\ln\bigl(1+x^2y^2\bigr)
e que mostremos que as mistas \,f_{xy} e \,f_{yx} coincidem. Vamos usar regra da cadeia e derivação de quociente para funções de duas variáveis.

Passo 2

Calcular a primeira parcial em relação a x. Seja u(x,y)=1+x^2y^2. Então
f_x = \frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1+x^2y^2}\,(2x\,y^2) = \frac{2x\,y^2}{1+x^2y^2}.

Passo 3

Calcular a primeira parcial em relação a y. Análogo ao passo anterior,
f_y = \frac{1}{1+x^2y^2}\,(2y\,x^2) = \frac{2x^2\,y}{1+x^2y^2}.

Passo 4

Calcular \,f_{xx}. Partimos de
f_x = 2x\,y^2\,(1+x^2y^2)^{-1}
e usamos produto e quociente:
f_{xx} = 2y^2\,(1+x^2y^2)^{-1} + 2x\,y^2\bigl(-1\bigr)(1+x^2y^2)^{-2}(2x\,y^2) = \frac{2y^2}{1+x^2y^2} - \frac{4x^2y^4}{(1+x^2y^2)^2}
que, ao colocar sobre denominador comum, fica
f_{xx} = \frac{2y^2\bigl(1+x^2y^2\bigr)-4x^2y^4}{(1+x^2y^2)^2} = \frac{2y^2\bigl(1 - x^2y^2\bigr)}{(1+x^2y^2)^2}.

Passo 5

Calcular \,f_{yy}. De
f_y = 2x^2\,y\,(1+x^2y^2)^{-1}
vem
f_{yy} = 2x^2\,(1+x^2y^2)^{-1} + 2x^2\,y\bigl(-1\bigr)(1+x^2y^2)^{-2}(2x^2\,y) = \frac{2x^2}{1+x^2y^2} - \frac{4x^4y^2}{(1+x^2y^2)^2}
ou seja
f_{yy} = \frac{2x^2\bigl(1 - x^2y^2\bigr)}{(1+x^2y^2)^2}.

Passo 6

Calcular \,f_{xy} e \,f_{yx}. De
f_x = 2x\,y^2\,(1+x^2y^2)^{-1}
temos
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl[2x\,y^2\,(1+x^2y^2)^{-1}\Bigr] = \frac{4x\,y}{1+x^2y^2} - \frac{4x^3y^3}{(1+x^2y^2)^2} = \frac{4x\,y}{(1+x^2y^2)^2}.
Análogo, partindo de f_y, chega-se a
f_{yx} = \frac{4x\,y}{(1+x^2y^2)^2}.
Logo, de fato f_{xy}=f_{yx}.

Resposta

f_{xx}=\frac{2y^2\bigl(1 - x^2y^2\bigr)}{(1+x^2y^2)^2}, \quad f_{yy}=\frac{2x^2\bigl(1 - x^2y^2\bigr)}{(1+x^2y^2)^2}, \quad f_{xy}=f_{yx}=\frac{4x\,y}{(1+x^2y^2)^2}.

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