Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função e mostre que as derivadas parciais mistas f_{x y} e f_{y x} são iguais.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}
e mostrar que as mistas f_{xy} e f_{yx} coincidem. Vamos usar o fato de que f(x,y)=(x^2+y^2)^{1/2} e aplicar a regra da cadeia e as regras de derivação (produto, quociente) para chegar a todas as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas parciais de primeira ordem. Como
f(x,y)=(x^2+y^2)^{1/2},
pela regra da cadeia temos
f_x=\frac12\,(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},
f_y=\frac12\,(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot2y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez em cada variável para obter as segundas ordens puras:
Para f_{xx}, derivamos f_x=x\,(x^2+y^2)^{-1/2} em relação a x:
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[x\,(x^2+y^2)^{-1/2}\Bigr] =(x^2+y^2)^{-1/2} - x\cdot\frac12(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot2x =\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} =\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Para f_{yy}, de modo análogo, derivamos f_y=y\,(x^2+y^2)^{-1/2} em relação a y e obtemos
f_{yy} =\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}.

Passo 4

Finalmente calculamos as derivadas mistas:
Para f_{xy}, derivamos f_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} em relação a y:
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[x\,(x^2+y^2)^{-1/2}\Bigr] = x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot2y =-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Para f_{yx}, derivamos f_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} em relação a x:
f_{yx} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[y\,(x^2+y^2)^{-1/2}\Bigr] = y\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot2x =-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Como os dois valores coincidem, temos mostrado que f_{xy}=f_{yx}.

Resposta

f_{xx}=\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}},\quad f_{yy}=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}},\quad f_{xy}=f_{yx}=-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}.

Exercícios relacionados