Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x, y)=x^{2} y^{3}+x y
Calcule:
f_{x y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y^{3}+xy
e pede para calcular a derivada parcial mista f_{xy}. Ou seja, primeiro derivar em relação a x (obtendo f_{x}) e depois derivar esse resultado em relação a y.

Passo 2

Rápida lembrança do que é derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, denotada f_{x}, é a taxa de variação de f quando x varia e y fica fixo. Formalmente,
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Na prática, ao diferenciar termos que envolvem y como fator, trata-se y como constante. Usaremos as regras básicas: regra da potência \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} e linearidade (derivar soma termo a termo).

Passo 3

Calcular f_{x} derivando f(x,y)=x^{2}y^{3}+xy em relação a x, tratando y como constante.
  • Para o termo x^{2}y^{3}: como y^{3} é constante em relação a x, a derivada é y^{3}\cdot \dfrac{d}{dx}x^{2}=y^{3}\cdot 2x.
  • Para o termo xy: y é constante, então a derivada é y\cdot \dfrac{d}{dx}x = y.
Somando termo a termo,
f_{x}(x,y)=2x\,y^{3}+y.

Passo 4

Agora f_{xy} significa derivar f_{x} em relação a y (ou seja, \dfrac{\partial}{\partial y}(f_{x})), tratando x como constante. Vamos diferenciar cada termo de f_{x}(x,y)=2x\,y^{3}+y em relação a y.
  • Para 2x\,y^{3}: 2x é constante (porque derivamos em relação a y), então a derivada é 2x\cdot \dfrac{d}{dy}y^{3}=2x\cdot 3y^{2}=6x\,y^{2}.
  • Para y: a derivada em relação a y é 1.
Somando,
f_{xy}(x,y)=6x\,y^{2}+1.

Passo 5

Check rápido (confirmação útil na prova): calcular f_{y} e depois f_{yx} deve dar o mesmo resultado porque f é polinomial (segundas derivadas contínuas), então as derivadas mistas comutam pela igualdade de Clairaut.
  • f_{y}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{3}+xy)=x^{2}\cdot 3y^{2}+x=3x^{2}y^{2}+x.
  • Derivando em x: f_{yx}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y^{2}+x)=3\cdot 2x\,y^{2}+1=6x\,y^{2}+1.
Confirmado: f_{xy}=f_{yx}=6x\,y^{2}+1.

Resposta

f_{xy}(x,y)=6x\,y^{2}+1

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