Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada parcial mista
. Ou seja, primeiro derivar em relação a
(obtendo
) e depois derivar esse resultado em relação a
.
Passo 2
Rápida lembrança do que é derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
, denotada
, é a taxa de variação de
quando
varia e
fica fixo. Formalmente,
Na prática, ao diferenciar termos que envolvem
como fator, trata-se
como constante. Usaremos as regras básicas: regra da potência
e linearidade (derivar soma termo a termo).
Passo 3
Calcular
derivando
em relação a
, tratando
como constante.
- Para o termo
: como é constante em relação a , a derivada é . - Para o termo
: é constante, então a derivada é .
Somando termo a termo,
Passo 4
Agora
significa derivar
em relação a
(ou seja,
), tratando
como constante. Vamos diferenciar cada termo de
em relação a
.
- Para
: é constante (porque derivamos em relação a ), então a derivada é . - Para
: a derivada em relação a é .
Somando,
Passo 5
Check rápido (confirmação útil na prova): calcular
e depois
deve dar o mesmo resultado porque
é polinomial (segundas derivadas contínuas), então as derivadas mistas comutam pela igualdade de Clairaut.
-
- Derivando em
:
Confirmado:
.