Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
Calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a
, ou seja
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é soma de dois termos:
e . - A derivada parcial em relação a
significa que, ao diferenciar, é tratado como constante. - Precisamos calcular a derivada parcial primeira
e então derivar novamente em relação a para obter .
Passo 2
Lembrete das regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Constante múltipla: se uma expressão é
com independente de , então . - Regra de potência (para
): .
Aplicação ao caso parcial: ao derivar em relação a, tratar (e potências de ) como constantes.
Passo 3
Calcular a derivada parcial primeira
termo a termo.
Derivando o primeiro termo
:
é constante em
, então
Derivando o segundo termo
:
é constante,
, portanto
Somando as duas derivadas:
Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial segunda
, ou seja
. Novamente, ao derivar em relação a
,
é tratado como constante.
Passo 5
Derivar termo a termo em
.
Derivada de
:
é constante, aplicar regra de potência em
:
Derivada de
em relação a
: como
é constante,
.
Somando: