Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x, y)=x^{2} y^{3}+x y
Calcule:
f_{y y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}y^{3}+xy
e pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a y, ou seja f_{yy}.
Informações relevantes:
  • A função é soma de dois termos: x^{2}y^{3} e xy.
  • A derivada parcial em relação a y significa que, ao diferenciar, x é tratado como constante.
  • Precisamos calcular a derivada parcial primeira f_{y} e então derivar novamente em relação a y para obter f_{yy}.

Passo 2

Lembrete das regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Constante múltipla: se uma expressão é c\cdot g(y) com c independente de y, então \dfrac{d}{dy}[c\cdot g(y)]=c\cdot g'(y).
  • Regra de potência (para y): \dfrac{d}{dy}\bigl(y^{n}\bigr)=n\,y^{n-1}.
    Aplicação ao caso parcial: ao derivar em relação a y, tratar x (e potências de x) como constantes.

Passo 3

Calcular a derivada parcial primeira \,f_{y}\, termo a termo.
Derivando o primeiro termo x^{2}y^{3}: x^{2} é constante em y, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{3}\bigr)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
Derivando o segundo termo xy: x é constante, \dfrac{d}{dy}(y)=1, portanto
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\bigr)=x\cdot 1 = x.
Somando as duas derivadas:
f_{y}=3x^{2}y^{2}+x.

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial segunda f_{yy}, ou seja \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{y}\bigr). Novamente, ao derivar em relação a y, x é tratado como constante.

Passo 5

Derivar termo a termo em f_{y}=3x^{2}y^{2}+x.
Derivada de 3x^{2}y^{2}: 3x^{2} é constante, aplicar regra de potência em y^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}\bigr)=3x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}\bigr)=3x^{2}\cdot 2y=6x^{2}y.
Derivada de x em relação a y: como x é constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(x)=0.
Somando:
f_{yy}=6x^{2}y+0=6x^{2}y.

Resposta

f_{yy}=6x^{2}y

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