Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem de uma função de duas variáveis. As informações importantes são:
- A função dada é
- A pergunta específica é calcular
isto é, a derivada parcial segunda em relação a (primeiro derivar em e depois derivar o resultado novamente em ).
Passo 2
Vou lembrar o que significa derivada parcial em palavras simples: ao calcular a derivada parcial de
em relação a
, trata-se de derivar
considerando
como constante. Em notação:
Aqui
e
são variáveis independentes; quando derivamos em
, qualquer termo que só dependa de
se comporta como constante.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
. Vou derivar cada termo de
em relação a
, lembrando que
é constante:
- Para o termo
: como é constante, aplica-se a regra da potência em . A derivada de é , então a derivada do produto é . - Para o termo
: aqui é constante e a derivada de é , logo a derivada é .
Somando:
Passo 4
Agora calculo a segunda derivada parcial
. Vou derivar
em relação a
, novamente considerando
constante:
- Para
: é constante, a derivada de em relação a é , então a derivada desse termo é . - Para
: é constante em relação a , logo a derivada é .
Somando os resultados das derivadas parciais:
Passo 5
Simplificando a expressão obtida:
Se quiser confirmar numericamente: por exemplo, para
tem-se
, o que bate com a expressão geral.