Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x, y)=x^{2} y^{3}+x y
Calcule:
f_{x x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem de uma função de duas variáveis. As informações importantes são:
  • A função dada é f(x,y)=x^{2}y^{3}+x y.
  • A pergunta específica é calcular f_{x x}, isto é, a derivada parcial segunda em relação a x (primeiro derivar em x e depois derivar o resultado novamente em x).

Passo 2

Vou lembrar o que significa derivada parcial em palavras simples: ao calcular a derivada parcial de f em relação a x, trata-se de derivar f considerando y como constante. Em notação:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y), \qquad f_{x x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(f_x(x,y)\big).
Aqui x e y são variáveis independentes; quando derivamos em x, qualquer termo que só dependa de y se comporta como constante.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x. Vou derivar cada termo de f(x,y)=x^{2}y^{3}+x y em relação a x, lembrando que y é constante:
  • Para o termo x^{2}y^{3}: como y^{3} é constante, aplica-se a regra da potência em x. A derivada de x^{2} é 2x, então a derivada do produto é 2x\cdot y^{3}.
  • Para o termo x y: aqui y é constante e a derivada de x é 1, logo a derivada é 1\cdot y=y.
Somando:
f_x(x,y)=2x\,y^{3}+y.

Passo 4

Agora calculo a segunda derivada parcial \,f_{x x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_x)\,. Vou derivar \,f_x(x,y)=2x\,y^{3}+y\, em relação a x, novamente considerando y constante:
  • Para 2x\,y^{3}: y^{3} é constante, a derivada de 2x em relação a x é 2, então a derivada desse termo é 2\cdot y^{3}=2y^{3}.
  • Para y: é constante em relação a x, logo a derivada é 0.
Somando os resultados das derivadas parciais:
f_{x x}(x,y)=2y^{3}+0.

Passo 5

Simplificando a expressão obtida:
f_{x x}(x,y)=2y^{3}.
Se quiser confirmar numericamente: por exemplo, para y=2 tem-se f_{x x}=2\cdot 2^{3}=16, o que bate com a expressão geral.

Resposta

f_{x x}=2y^{3}

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