(Aplicação em Energia Solar)
A potência gerada por um painel fotovoltaico pode ser modelada por:
\mathrm{P}(\mathrm{~T}, \mathrm{I})=0,8 \mathrm{I}-0,02 \mathrm{~T}^{2}
onde:
  • P é a potência gerada;
  • T é a temperatura do painel;
  • I é a intensidade da radiação solar.
Determine:
Interprete fisicamente os resultados encontrados.
\frac{\partial P}{\partial T}

Passo 1

O enunciado dá o modelo da potência gerada por um painel:
\mathrm{P}(\mathrm{T},\mathrm{I})=0,8\mathrm{I}-0,02\mathrm{T}^{2}
As tarefas pedidas são:
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial T}.
  • Interpretar fisicamente os resultados encontrados.
Informações relevantes fornecidas:
  • P depende de duas variáveis independentes: T (temperatura do painel) e \,I (intensidade da radiação).
  • Os coeficientes numéricos do modelo são 0,8 e -0,02.

Passo 2

O que é uma derivada parcial e como aplicá-la aqui (aula rapidinha, sem pânico).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial P}{\partial T} mede a taxa de variação de P quando só T varia e \,I é mantida fixa. Ou seja: “quanto muda a potência se eu aumentar a temperatura em 1 unidade, mantendo a radiação solar igual”.
  • Para calcular uma derivada parcial, tratamos todas as outras variáveis como constantes. Aqui, ao derivar em relação a T vamos tratar \,I como constante.
  • Regras de diferenciação que usaremos:
    • A derivada de uma constante é zero.
    • A derivada de aT^{2} em relação a T é 2aT (porque \dfrac{d}{dT}T^{2}=2T).
  • Aplicando isso ao modelo: o termo 0,8\mathrm{I} não depende de T (porque \mathrm{I} é tratada como constante), então sua derivada em relação a T é zero. O termo -0,02\mathrm{T}^{2} dá origem a uma derivada linear em T.

Passo 3

Cálculo passo a passo da derivada parcial.
  • Derivada do primeiro termo: \dfrac{\partial}{\partial T}\bigl(0,8\mathrm{I}\bigr)=0porque 0,8\mathrm{I} é constante em relação a T.
  • Derivada do segundo termo: \dfrac{\partial}{\partial T}\bigl(-0,02\mathrm{T}^{2}\bigr)=-0,02\cdot 2\mathrm{T}=-0,04\mathrm{T}.
  • Somando as contribuições: \boxed{\dfrac{\partial P}{\partial T}=-0,04\mathrm{T}.}

Passo 4

Interpretação matemática imediata (o que a fórmula nos diz).
  • \dfrac{\partial P}{\partial T} é uma função linear de \mathrm{T} e não depende de \mathrm{I}.
  • Para \mathrm{T}>0 tem-se \dfrac{\partial P}{\partial T}<0. Para \mathrm{T}=0 a derivada é zero. Para \mathrm{T}<0 a derivada seria positiva (mas temperaturas negativas podem não fazer sentido físico no contexto).
  • A segunda derivada em relação a T é \dfrac{\partial^{2}P}{\partial T^{2}}=-0,04<0,constante e negativa, o que indica curvatura para baixo (isto é, em relação a T, P tem um máximo local em T=0).

Passo 5

Interpretação física em linguagem direta e com exemplos numéricos (para ajudar a entender na prova).
  • Significado físico de \dfrac{\partial P}{\partial T}=-0,04\mathrm{T}: mantendo a irradiância \mathrm{I} fixa, um aumento de 1 unidade de temperatura ( 1^\circC, por exemplo, se \mathrm{T} estiver em °C) muda a potência P em aproximadamente -0,04\mathrm{T} unidades de potência. Assim, o sinal negativo indica que, para temperaturas positivas, aumentar a temperatura reduz a potência produzida.
  • Exemplo prático:
    • Se \mathrm{T}=25 (por exemplo 25^\circC), então \dfrac{\partial P}{\partial T}=-0,04\cdot 25=-1.Interpretação: com a mesma radiação, um aumento de 1^\circC reduziria a potência em 1 (unidade de potência do modelo) por grau.
    • Se \mathrm{T}=50, então \dfrac{\partial P}{\partial T}=-2: cada grau adicional reduz P em 2 unidades.
  • Observação importante: neste modelo a sensibilidade da potência à temperatura aumenta em magnitude com a própria temperatura (porque a derivada é proporcional a T). Ou seja, painéis já quentes perdem potência mais rápido quando a temperatura sobe mais.
  • Outro ponto físico relevante: como \dfrac{\partial P}{\partial T} não depende de \mathrm{I} neste modelo, a influência da temperatura sobre a potência é a mesma independentemente do nível de radiação solar (segundo essa modelagem simples).

Passo 6

Conclusões úteis para a prova e para interpretação prática
  • Resumo rápido:
    • A expressão fechada da sensibilidade térmica é \dfrac{\partial P}{\partial T}=-0,04\mathrm{T}.
    • Para temperaturas típicas positivas, a potência diminui quando a temperatura aumenta.
    • Em termos práticos, reduzir a temperatura do painel (ventilação, montagem com espaço, etc.) ajuda a manter a potência maior.
  • Dica para a prova: ao pedir derivada parcial, lembre-se sempre de tratar as outras variáveis como constantes e derivar termo a termo — é a regra número um para evitar erros por descuido.

Resposta

\dfrac{\partial P}{\partial T}=-0,04\mathrm{T}
Mantida \mathrm{I} constante, \dfrac{\partial P}{\partial T}<0 para \mathrm{T}>0: um aumento de temperatura reduz a potência; a sensibilidade é proporcional a \mathrm{T} (maior perda por grau quanto maior a temperatura) e independe de \mathrm{I}.

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