(Aplicação em Energia Solar)
A potência gerada por um painel fotovoltaico pode ser modelada por:
onde:
- P é a potência gerada;
- T é a temperatura do painel;
- I é a intensidade da radiação solar.
Determine:
Interprete fisicamente os resultados encontrados.
Passo 1
O enunciado dá o modelo da potência gerada por um painel:
As tarefas pedidas são:
- Calcular
. - Interpretar fisicamente os resultados encontrados.
Informações relevantes fornecidas:
-
depende de duas variáveis independentes: (temperatura do painel) e (intensidade da radiação). - Os coeficientes numéricos do modelo são
e .
Passo 2
O que é uma derivada parcial e como aplicá-la aqui (aula rapidinha, sem pânico).
- A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando só varia e é mantida fixa. Ou seja: “quanto muda a potência se eu aumentar a temperatura em 1 unidade, mantendo a radiação solar igual”. - Para calcular uma derivada parcial, tratamos todas as outras variáveis como constantes. Aqui, ao derivar em relação a
vamos tratar como constante. - Regras de diferenciação que usaremos:
- A derivada de uma constante é zero.
- A derivada de
em relação a é (porque ).
- Aplicando isso ao modelo: o termo
não depende de (porque é tratada como constante), então sua derivada em relação a é zero. O termo dá origem a uma derivada linear em .
Passo 3
Cálculo passo a passo da derivada parcial.
- Derivada do primeiro termo:
porque é constante em relação a . - Derivada do segundo termo:
- Somando as contribuições:
Passo 4
Interpretação matemática imediata (o que a fórmula nos diz).
-
é uma função linear de e não depende de . - Para
tem-se . Para a derivada é zero. Para a derivada seria positiva (mas temperaturas negativas podem não fazer sentido físico no contexto). - A segunda derivada em relação a
é constante e negativa, o que indica curvatura para baixo (isto é, em relação a , tem um máximo local em ).
Passo 5
Interpretação física em linguagem direta e com exemplos numéricos (para ajudar a entender na prova).
- Significado físico de
: mantendo a irradiância fixa, um aumento de unidade de temperatura ( C, por exemplo, se estiver em °C) muda a potência em aproximadamente unidades de potência. Assim, o sinal negativo indica que, para temperaturas positivas, aumentar a temperatura reduz a potência produzida. - Exemplo prático:
- Se
(por exemplo C), então Interpretação: com a mesma radiação, um aumento de C reduziria a potência em (unidade de potência do modelo) por grau. - Se
, então : cada grau adicional reduz em unidades.
- Se
- Observação importante: neste modelo a sensibilidade da potência à temperatura aumenta em magnitude com a própria temperatura (porque a derivada é proporcional a
). Ou seja, painéis já quentes perdem potência mais rápido quando a temperatura sobe mais. - Outro ponto físico relevante: como
não depende de neste modelo, a influência da temperatura sobre a potência é a mesma independentemente do nível de radiação solar (segundo essa modelagem simples).
Passo 6
Conclusões úteis para a prova e para interpretação prática
- Resumo rápido:
- A expressão fechada da sensibilidade térmica é
. - Para temperaturas típicas positivas, a potência diminui quando a temperatura aumenta.
- Em termos práticos, reduzir a temperatura do painel (ventilação, montagem com espaço, etc.) ajuda a manter a potência maior.
- A expressão fechada da sensibilidade térmica é
- Dica para a prova: ao pedir derivada parcial, lembre-se sempre de tratar as outras variáveis como constantes e derivar termo a termo — é a regra número um para evitar erros por descuido.
Resposta
Mantida
constante,
para
: um aumento de temperatura reduz a potência; a sensibilidade é proporcional a
(maior perda por grau quanto maior a temperatura) e independe de
.