Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: 
 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as derivadas parciais de segunda ordem da função 
 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de diferenciação parcial duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de 
  em relação a 
 . Isso significa que vamos derivar 
  considerando 
  como uma constante.
Derivando termo a termo:
- A derivada de 
em relação a é (já que é constante).  - A derivada de 
em relação a é .  
Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente 
  em relação a 
  para encontrar a segunda derivada parcial 
 .
Derivando termo a termo:
- A derivada de 
em relação a é .  - A derivada de 
em relação a é (já que é constante).  
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar 
  em relação a 
  para encontrar a derivada mista 
 .
Derivando termo a termo:
- A derivada de 
em relação a é .  - A derivada de 
em relação a é .  
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de 
  em relação a 
 .
Derivando termo a termo:
- A derivada de 
em relação a é .  - A derivada de 
em relação a é .  
Então:
Passo 6
Finalmente, vamos derivar 
  em relação a 
  para encontrar a segunda derivada parcial 
 .
Derivando termo a termo:
- A derivada de 
em relação a é .  - A derivada de 
em relação a é (já que é constante).  
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função 
  são: