Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairaut.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. - Verificar o Teorema de Clairaut (isto é, checar se as derivadas mistas de segunda ordem são iguais).
Informações fornecidas e observação inicial:
- A função é
. - Domínio natural: todos os pares
tais que (porque o denominador não pode ser zero). - Vou primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, as de segunda ordem; por fim comparo as mistas
e .
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Produto e cadeia: se
, então e . - Para potência negativa:
. Aqui quando derivamos em relação a , e quando derivamos em relação a . - Aplicarei essas regras escrevendo
para facilitar a aplicação das regras.
Passo 3
Calcular
(derivada parcial em relação a
):
- Escrevo
. - Aplicando a regra do produto:
Aqui o primeiro termo vem de derivar (fica ) e multiplicar por ; o segundo termo vem de manter e derivar pela regra da cadeia (o fator aparece). - Simplifico:
- Coloco em denominador comum
:
Portanto
Passo 4
Calcular
(derivada parcial em relação a
):
- Parto de
. Agora é tratado como constante. - Aplicando a regra do produto (apenas o segundo fator depende de
):
Portanto
Passo 5
Calcular
(segunda derivada parcial em
):
- Temos
. Ao diferenciar em relação a , é constante. - Uso a regra da cadeia para
:
Portanto
Passo 6
Calcular
(segunda derivada parcial em
):
- Temos
. Ao diferenciar em relação a , é constante. - Aplicando a regra da cadeia:
Portanto
Passo 7
Calcular
(primeiro
depois
):
- Parto de
e derivo em relação a . Aqui uso a regra do produto, desta vez depende de e também: - Simplifico:
- Coloco em denominador comum
:
Portanto
Passo 8
Calcular
(primeiro
depois
):
- Parto de
e derivo em relação a . Uso regra do produto, agora o primeiro fator depende de e o segundo também: - Simplifico:
- Coloco em denominador comum
:
Portanto
Passo 9
Verificação do Teorema de Clairaut:
- Encontramos
e , logo as derivadas mistas são iguais. - Justificativa teórica: todas as segundas derivadas obtidas são funções racionais com denominador
, portanto são contínuas em qualquer ponto do domínio . O Teorema de Clairaut (que exige continuidade das derivadas de segunda ordem numa vizinhança do ponto) garante a igualdade nesses pontos, consistente com os cálculos.