Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairaut.
f(x, y)=x /(x+y)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=\dfrac{x}{x+y}.
  • Verificar o Teorema de Clairaut (isto é, checar se as derivadas mistas de segunda ordem são iguais).
Informações fornecidas e observação inicial:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{x+y}.
  • Domínio natural: todos os pares (x,y) tais que x+y\neq 0 (porque o denominador não pode ser zero).
  • Vou primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, as de segunda ordem; por fim comparo as mistas f_{xy} e f_{yx}.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Produto e cadeia: se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), então \displaystyle g_x = u_x v + u v_x e \displaystyle g_y = u_y v + u v_y.
  • Para potência negativa: \displaystyle \frac{d}{dx}(x+y)^{-n} = -n(x+y)^{-n-1}\cdot\frac{d}{dx}(x+y). Aqui \frac{d}{dx}(x+y)=1 quando derivamos em relação a x, e \frac{d}{dy}(x+y)=1 quando derivamos em relação a y.
  • Aplicarei essas regras escrevendo f(x,y)=x\,(x+y)^{-1} para facilitar a aplicação das regras.

Passo 3

Calcular \displaystyle f_x (derivada parcial em relação a x):
  • Escrevo f(x,y)=x\,(x+y)^{-1}.
  • Aplicando a regra do produto: f_x = 1\cdot (x+y)^{-1} + x\cdot\bigl(-1\bigr)(x+y)^{-2}\cdot 1.Aqui o primeiro termo vem de derivar x (fica 1) e multiplicar por (x+y)^{-1}; o segundo termo vem de manter x e derivar (x+y)^{-1} pela regra da cadeia (o fator -1 aparece).
  • Simplifico: f_x = (x+y)^{-1} - x (x+y)^{-2}.
  • Coloco em denominador comum (x+y)^2: f_x = \frac{x+y}{(x+y)^2} - \frac{x}{(x+y)^2} = \frac{y}{(x+y)^2}.
Portanto
f_x = \frac{y}{(x+y)^2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle f_y (derivada parcial em relação a y):
  • Parto de f(x,y)=x\,(x+y)^{-1}. Agora x é tratado como constante.
  • Aplicando a regra do produto (apenas o segundo fator depende de y): f_y = x\cdot\bigl(-1\bigr)(x+y)^{-2}\cdot 1 = -\frac{x}{(x+y)^2}.
Portanto
f_y = -\frac{x}{(x+y)^2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle f_{xx} (segunda derivada parcial em x):
  • Temos f_x = y\,(x+y)^{-2}. Ao diferenciar em relação a x, y é constante.
  • Uso a regra da cadeia para (x+y)^{-2}: f_{xx} = y\cdot (-2)(x+y)^{-3}\cdot 1 = -\frac{2y}{(x+y)^3}.
Portanto
f_{xx} = -\frac{2y}{(x+y)^3}.

Passo 6

Calcular \displaystyle f_{yy} (segunda derivada parcial em y):
  • Temos f_y = -x\,(x+y)^{-2}. Ao diferenciar em relação a y, x é constante.
  • Aplicando a regra da cadeia: f_{yy} = -x\cdot (-2)(x+y)^{-3}\cdot 1 = \frac{2x}{(x+y)^3}.
Portanto
f_{yy} = \frac{2x}{(x+y)^3}.

Passo 7

Calcular \displaystyle f_{xy} (primeiro x depois y):
  • Parto de f_x = y\,(x+y)^{-2} e derivo em relação a y. Aqui uso a regra do produto, desta vez y depende de y e (x+y)^{-2} também: f_{xy} = 1\cdot (x+y)^{-2} + y\cdot (-2)(x+y)^{-3}\cdot 1.
  • Simplifico: f_{xy} = \frac{1}{(x+y)^{2}} - \frac{2y}{(x+y)^{3}}.
  • Coloco em denominador comum (x+y)^3: f_{xy} = \frac{x+y}{(x+y)^3} - \frac{2y}{(x+y)^3} = \frac{x - y}{(x+y)^3}.
Portanto
f_{xy} = \frac{x-y}{(x+y)^3}.

Passo 8

Calcular \displaystyle f_{yx} (primeiro y depois x):
  • Parto de f_y = -x\,(x+y)^{-2} e derivo em relação a x. Uso regra do produto, agora o primeiro fator -x depende de x e o segundo também: f_{yx} = -1\cdot (x+y)^{-2} + (-x)\cdot (-2)(x+y)^{-3}\cdot 1.
  • Simplifico: f_{yx} = -\frac{1}{(x+y)^{2}} + \frac{2x}{(x+y)^{3}}.
  • Coloco em denominador comum (x+y)^3: f_{yx} = \frac{- (x+y) + 2x}{(x+y)^3} = \frac{x - y}{(x+y)^3}.
Portanto
f_{yx} = \frac{x-y}{(x+y)^3}.

Passo 9

Verificação do Teorema de Clairaut:
  • Encontramos \displaystyle f_{xy}=\frac{x-y}{(x+y)^3} e \displaystyle f_{yx}=\frac{x-y}{(x+y)^3}, logo as derivadas mistas são iguais.
  • Justificativa teórica: todas as segundas derivadas obtidas são funções racionais com denominador (x+y)^3, portanto são contínuas em qualquer ponto do domínio x+y\neq 0. O Teorema de Clairaut (que exige continuidade das derivadas de segunda ordem numa vizinhança do ponto) garante a igualdade f_{xy}=f_{yx} nesses pontos, consistente com os cálculos.

Resposta

\displaystyle f_{xx}=-\frac{2y}{(x+y)^3}\n
\displaystyle f_{yy}=\frac{2x}{(x+y)^3}\n
\displaystyle f_{xy}=\frac{x-y}{(x+y)^3}\n
\displaystyle f_{yx}=\frac{x-y}{(x+y)^3}

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