Mostre que a curva com equações paramétricas x=t \cos t, y=t \sin t, z=\sin ^{2} t é a curva de interseção das superfícies z=x^{2} e x^{2}+y^{2}=1. Use este fato para esboçar a curva.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas da curva:
x(t)=t\cos t,\qquad y(t)=t\sin t,\qquad z(t)=\sin^{2}t,
para t real (não foi dado intervalo, então consideramos t\in\mathbb{R}).
Pede-se duas coisas:
  • Mostrar que essa curva é a curva de interseção das superfícies z=x^{2} e x^{2}+y^{2}=1.
  • Usar esse fato para esboçar a curva.
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas paramétricas explicitam x,y,z em função de um parâmetro t.
  • As superfícies cujas interseções supostamente formam a curva são z=x^{2} (paraboloide cilíndrico) e x^{2}+y^{2}=1 (cilindro circular de raio 1 em torno do eixo z).

Passo 2

Vou calcular x^{2}+y^{2} a partir das paramétricas, porque uma das superfícies é x^{2}+y^{2}=1.
Calculemos:
x^{2}+y^{2}=(t\cos t)^{2}+(t\sin t)^{2}=t^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=t^{2}.
Portanto, para um ponto da curva parametrizada vale sempre
x^{2}+y^{2}=t^{2}.

Passo 3

Comparando com a equação do cilindro x^{2}+y^{2}=1, vemos que, em geral,
x^{2}+y^{2}=t^{2}\neq 1
para um t arbitrário. A igualdade x^{2}+y^{2}=1 só ocorre quando t^{2}=1, isto é, somente para os valores isolados t=1 e t=-1. Conclusão: a curva dada NÃO pertence ao cilindro x^{2}+y^{2}=1 para valores gerais de t; pertence apenas em dois pontos isolados (quando t=\pm1).

Passo 4

Agora vou comparar z com x^{2} para verificar a outra superfície z=x^{2}. Da parametrização temos
z=\sin^{2}t, \qquad x^{2}=(t\cos t)^{2}=t^{2}\cos^{2}t.
Para que um ponto da curva satisfaça z=x^{2} seria necessário
\sin^{2}t = t^{2}\cos^{2}t.
Essa igualdade não é verdadeira para todo t; é uma equação transcendental que pode ter soluções isoladas, mas não é identicamente satisfeita. Logo, em geral z\neq x^{2} ao longo da curva parametrizada.

Passo 5

Com as conclusões dos passos anteriores: a curva parametrizada não satisfaz, em geral, nem x^{2}+y^{2}=1 nem z=x^{2}. Portanto a afirmação do enunciado — que a curva é a interseção das superfícies z=x^{2} e x^{2}+y^{2}=1 — é falsa. A interseção dessas duas superfícies (se a considerarmos) seria o conjunto de pontos com x^{2}+y^{2}=1 e z=x^{2}, isto é um espaço de dimensão 1 (uma curva) composta por pontos com (x,y)=(\cos\theta,\sin\theta) e z=\cos^{2}\theta; essa curva parametrizada seria, por exemplo, \bigl(\cos\theta,\sin\theta,\cos^{2}\theta\bigr). Isso é diferente da parametrização dada.

Passo 6

Mesmo que a afirmação original esteja errada, a parametrização dada define uma curva perfeitamente interessante; vou explicar a sua geometria e como esboçá-la — isto ajuda a entender por que ela não é a interseção pedida.
Observe que, em coordenadas polares no plano xy,
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Comparando com a parametrização, temos r=t e \theta=t (para t\ge 0 isso é direto; para t<0 interpretar r=|t| e \theta=t dá um andamento equivalente com mudança de orientação). Portanto a projeção da curva no plano xy é a espiral de Arquimedes dada por
r=\theta
(ou, escrito em termos do parâmetro, r=t,\\ \theta=t). Ou seja: conforme t aumenta, o ponto vai abrindo em espiral, com raio crescendo proporcionalmente a t.

Passo 7

A coordenada z é z=\sin^{2}t. Propriedades importantes:
  • z oscila entre 0 e 1 porque 0\le\sin^{2}t\le1.
  • z=0 quando \sin t=0, isto é, para t=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Nesses valores, o ponto da espiral está no plano z=0; as posições na projeção xy têm raio r=|k\pi|.
  • z=1 quando \sin t=\pm1, isto é, para t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi; nesses pontos o ponto da espiral atinge a altura máxima z=1 e está nas “voltas” da espiral de raios r=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 8

Com essas informações, como esboçar a curva:
  1. Faça primeiro a projeção no plano xy: desenhe uma espiral que parte da origem e se abre, com raios passando por r=\pi,\,2\pi,\,3\pi,\dots nas voltas sucessivas (esses são valores para referência dos pontos onde z=0).
  2. Para cada ponto da espiral, associe uma altura z=\sin^{2}t. Assim a espiral “sobe” e “desce” entre 0 e 1 seguindo a oscilação de \sin^{2}t. Marque:
    • nos raios r=k\pi os pontos na altura z=0,
    • nos raios r=\tfrac{\pi}{2}+k\pi os pontos na altura z=1.
  3. O resultado é uma espiral em torno do eixo z que se afasta do eixo (raio cresce) enquanto a altura oscila periodicamente entre 0 e 1. Para t negativo, a espiral segue para dentro/inverso de orientação conforme a definição polar.

Passo 9

Resumo final do raciocínio: as identidades diretas mostram que a parametrização satisfaz x^{2}+y^{2}=t^{2} e z=\sin^{2}t, que não coincidem com as equações x^{2}+y^{2}=1 e z=x^{2} pedidas no enunciado. Logo a curva dada não é a interseção das superfícies indicadas; em vez disso ela é uma espiral radial r=t,\\ \theta=t com altura z=\sin^{2}t, que é o que deve ser esboçado.

Resposta

A afirmação do enunciado é falsa: a curva parametrizada não é a interseção de z=x^{2} e x^{2}+y^{2}=1. A curva tem projeção polar r=t,\\ \theta=t (espiral de Arquimedes) e altitude z=\sin^{2}t; em particular x^{2}+y^{2}=t^{2} e z=\sin^{2}t, portanto os pontos satisfazem x^{2}+y^{2}=1 apenas quando t=\pm1 (dois pontos isolados) e não satisfazem z=x^{2} de forma geral.

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