Mostre que a curva com equações paramétricas
é a curva de interseção das superfícies
e
. Use este fato para esboçar a curva.
Passo 1
O enunciado nos dá as equações paramétricas da curva:
para
real (não foi dado intervalo, então consideramos
).
Pede-se duas coisas:
Pede-se duas coisas:
- Mostrar que essa curva é a curva de interseção das superfícies
e . - Usar esse fato para esboçar a curva.
Informações relevantes dadas:
- As coordenadas paramétricas explicitam
em função de um parâmetro . - As superfícies cujas interseções supostamente formam a curva são
(paraboloide cilíndrico) e (cilindro circular de raio em torno do eixo ).
Passo 2
Vou calcular
a partir das paramétricas, porque uma das superfícies é
.
Calculemos:
Calculemos:
Portanto, para um ponto da curva parametrizada vale sempre
Passo 3
Comparando com a equação do cilindro
, vemos que, em geral,
para um
arbitrário. A igualdade
só ocorre quando
, isto é, somente para os valores isolados
e
. Conclusão: a curva dada NÃO pertence ao cilindro
para valores gerais de
; pertence apenas em dois pontos isolados (quando
).
Passo 4
Agora vou comparar
com
para verificar a outra superfície
. Da parametrização temos
Para que um ponto da curva satisfaça
seria necessário
Essa igualdade não é verdadeira para todo
; é uma equação transcendental que pode ter soluções isoladas, mas não é identicamente satisfeita. Logo, em geral
ao longo da curva parametrizada.
Passo 5
Com as conclusões dos passos anteriores: a curva parametrizada não satisfaz, em geral, nem
nem
. Portanto a afirmação do enunciado — que a curva é a interseção das superfícies
e
— é falsa. A interseção dessas duas superfícies (se a considerarmos) seria o conjunto de pontos com
e
, isto é um espaço de dimensão 1 (uma curva) composta por pontos com
e
; essa curva parametrizada seria, por exemplo,
. Isso é diferente da parametrização dada.
Passo 6
Mesmo que a afirmação original esteja errada, a parametrização dada define uma curva perfeitamente interessante; vou explicar a sua geometria e como esboçá-la — isto ajuda a entender por que ela não é a interseção pedida.
Observe que, em coordenadas polares no plano
,
Comparando com a parametrização, temos
e
(para
isso é direto; para
interpretar
e
dá um andamento equivalente com mudança de orientação). Portanto a projeção da curva no plano
é a espiral de Arquimedes dada por
(ou, escrito em termos do parâmetro,
). Ou seja: conforme
aumenta, o ponto vai abrindo em espiral, com raio crescendo proporcionalmente a
.
Passo 7
A coordenada
é
. Propriedades importantes:
-
oscila entre e porque . -
quando , isto é, para com . Nesses valores, o ponto da espiral está no plano ; as posições na projeção têm raio . -
quando , isto é, para ; nesses pontos o ponto da espiral atinge a altura máxima e está nas “voltas” da espiral de raios .
Passo 8
Com essas informações, como esboçar a curva:
- Faça primeiro a projeção no plano
: desenhe uma espiral que parte da origem e se abre, com raios passando por nas voltas sucessivas (esses são valores para referência dos pontos onde ). - Para cada ponto da espiral, associe uma altura
. Assim a espiral “sobe” e “desce” entre e seguindo a oscilação de . Marque: - nos raios
os pontos na altura , - nos raios
os pontos na altura .
- nos raios
- O resultado é uma espiral em torno do eixo
que se afasta do eixo (raio cresce) enquanto a altura oscila periodicamente entre e . Para negativo, a espiral segue para dentro/inverso de orientação conforme a definição polar.
Passo 9
Resumo final do raciocínio: as identidades diretas mostram que a parametrização satisfaz
e
, que não coincidem com as equações
e
pedidas no enunciado. Logo a curva dada não é a interseção das superfícies indicadas; em vez disso ela é uma espiral radial
com altura
, que é o que deve ser esboçado.
Resposta
A afirmação do enunciado é falsa: a curva parametrizada não é a interseção de
e
. A curva tem projeção polar
(espiral de Arquimedes) e altitude
; em particular
e
, portanto os pontos satisfazem
apenas quando
(dois pontos isolados) e não satisfazem
de forma geral.