Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairaut.
f(x, y)=y \tan 2 x.

Passo 1

O enunciado pede para:
  • Determinar as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=y\tan 2x.
  • Verificar o Teorema de Clairaut (isto é, checar se as derivadas mistas de segunda ordem são iguais).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=y\tan 2x.
  • Não há outras condições explícitas; implicitamente trabalhamos no domínio onde \tan 2x está definida (ou seja, onde \cos 2x\neq0).

Passo 2

Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrete rápido e útil (fórmulas que vou usar):
  • A derivada da função \tan u em relação a u é \dfrac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^2 u.
  • A regra da cadeia: se u=u(x), então \dfrac{d}{dx}\tan(u(x))=\operatorname{sec}^2(u(x))\cdot u'(x).
  • Derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} trata-se y como constante; ao calcular \dfrac{\partial}{\partial y} trata-se x como constante.
Agora calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}. Como y é constante aqui, temos:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\cdot\frac{d}{dx}\big(\tan 2x\big).
Aplicando a regra da cadeia com u=2x:
\frac{d}{dx}\tan(2x)=\operatorname{sec}^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x)=\operatorname{sec}^2(2x)\cdot 2.
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\cdot 2\operatorname{sec}^2(2x)=2y\operatorname{sec}^2(2x).

Passo 3

Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}. Aqui x é tratado como constante, então \tan 2x é constante em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\tan 2x.
Isso é direto: derivada de y\cdot(\text{constante}) em relação a y é a constante.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de segunda ordem \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx}. Diferenciamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=2y\operatorname{sec}^2(2x) em relação a x, tratando y como constante.
Precisamos da derivada de \operatorname{sec}^2(2x). Use novamente a regra da cadeia e a derivada de \operatorname{sec}^2 u:
  • \dfrac{d}{du}\operatorname{sec}^2 u = 2\operatorname{sec}^2 u\tan u.
    Com u=2x e u'=2, obtemos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}^2(2x)=2\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x)\cdot 2 = 4\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x).
Multiplicando por 2y (pois \dfrac{\partial f}{\partial x}=2y\operatorname{sec}^2(2x)):
f_{xx}(x,y)=2y\cdot 4\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x)=8y\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x).

Passo 5

Calculemos agora a derivada mista f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(\dfrac{\partial f}{\partial x}\big). Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=2y\operatorname{sec}^2(2x) e derivamos em relação a y, tratando x como constante:
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(2y\operatorname{sec}^2(2x)\big)=2\operatorname{sec}^2(2x).
Aqui \operatorname{sec}^2(2x) é constante em relação a y, e a derivada de 2y é 2.

Passo 6

Agora calculemos a outra derivada mista f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(\dfrac{\partial f}{\partial y}\big). Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=\tan 2x e derivamos em relação a x:
f_{yx}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(\tan 2x\big)=\operatorname{sec}^2(2x)\cdot 2=2\operatorname{sec}^2(2x).
Comparando com f_{xy} do Passo 5 vemos que f_{xy}=f_{yx}=2\operatorname{sec}^2(2x).
Comentários sobre Clairaut: o Teorema de Clairaut (teorema das derivadas mistas iguais) afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas num ponto (ou numa vizinhança), então as mistas são iguais. As expressões encontradas são contínuas no domínio onde \tan 2x (portanto \operatorname{sec} 2x) é definida — isto é, para x tais que \cos 2x\neq0. Assim, no domínio natural de f onde tudo é C^2, Clairaut é satisfeito.

Passo 7

Por fim, calculemos f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(\dfrac{\partial f}{\partial y}\big). Como \dfrac{\partial f}{\partial y}=\tan 2x não depende de y, obtemos
f_{yy}(x,y)=0.

Resposta

f_{xx}(x,y)=8y\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x)\n
f_{xy}(x,y)=2\operatorname{sec}^2(2x)\n
f_{yx}(x,y)=2\operatorname{sec}^2(2x)\n
f_{yy}(x,y)=0\n
Portanto f_{xy}=f_{yx}, verificando o Teorema de Clairaut no domínio onde f é C^2 (isto é, onde \cos 2x\neq0).

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