Determine as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairaut.
.
Passo 1
O enunciado pede para:
- Determinar as derivadas parciais de segunda ordem de
. - Verificar o Teorema de Clairaut (isto é, checar se as derivadas mistas de segunda ordem são iguais).
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras condições explícitas; implicitamente trabalhamos no domínio onde
está definida (ou seja, onde ).
Passo 2
Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrete rápido e útil (fórmulas que vou usar):
- A derivada da função
em relação a é . - A regra da cadeia: se
, então . - Derivada parcial: ao calcular
trata-se como constante; ao calcular trata-se como constante.
Agora calculemos
. Como
é constante aqui, temos:
Aplicando a regra da cadeia com
:
Portanto:
Passo 3
Agora
. Aqui
é tratado como constante, então
é constante em relação a
:
Isso é direto: derivada de
em relação a
é a constante.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de segunda ordem
. Diferenciamos
em relação a
, tratando
como constante.
Precisamos da derivada de
. Use novamente a regra da cadeia e a derivada de
:
-
.
Come , obtemos:
Multiplicando por
(pois
):
Passo 5
Calculemos agora a derivada mista
. Partimos de
e derivamos em relação a
, tratando
como constante:
Aqui
é constante em relação a
, e a derivada de
é
.
Passo 6
Agora calculemos a outra derivada mista
. Partimos de
e derivamos em relação a
:
Comparando com
do Passo 5 vemos que
.
Comentários sobre Clairaut: o Teorema de Clairaut (teorema das derivadas mistas iguais) afirma que, se as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas num ponto (ou numa vizinhança), então as mistas são iguais. As expressões encontradas são contínuas no domínio onde
(portanto
) é definida — isto é, para
tais que
. Assim, no domínio natural de
onde tudo é
, Clairaut é satisfeito.
Passo 7
Por fim, calculemos
. Como
não depende de
, obtemos
Resposta
Portanto