Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
definida por
Informações dadas:
- A função interior é
(uma função qualquer). - A função exterior é o logaritmo natural
.
O que é pedido: - Calcular
, a derivada de em termos de e .
Passo 2
Entendendo a ideia: a regra da cadeia é usada quando uma função é composta, ou seja, quando temos uma função exterior aplicada a uma função interior. Se escrevemos a composição como
a regra da cadeia diz que a derivada é
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função exterior (depende da variável genérica ); -
é a função interior (depende de ); -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
A regra da cadeia simplesmente multiplica a taxa de variação da parte exterior (avaliada no valor interno) pela taxa de variação da parte interior.
Passo 3
Identificar partes na nossa função:
- Função exterior:
. - Função interior:
.
Passo 4
Calcular a derivada da função exterior
.
Uma maneira rápida de ver isso é usar a propriedade de funções inversas: como , derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Uma maneira rápida de ver isso é usar a propriedade de funções inversas: como
O lado esquerdo é
(regra da cadeia), e o lado direito é
. Logo
Como
, segue que
Portanto a derivada do logaritmo natural é
(válida para
).
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia à nossa composição
. Pela regra da cadeia,
Substituindo
e
obtemos
Organizando:
Passo 6
Observações importantes para a prova (dicas práticas):
- A fórmula só faz sentido quando
(porque exige argumento positivo). Também é preciso que seja diferenciável naquele ponto. - Na prova, ao ver
, já decora: derivada = (derivada do “algo”) dividido pelo próprio “algo”. - Exemplos rápidos para treinar:
- Se
, então e . - Se
(em pontos onde ), então e .
- Se