Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
f(x)=\ln (g(x))

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função f definida por
f(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr).
Informações dadas:
  • A função interior é g(x) (uma função qualquer).
  • A função exterior é o logaritmo natural \ln(\cdot).
    O que é pedido:
  • Calcular f'(x), a derivada de f em termos de g e g'.

Passo 2

Entendendo a ideia: a regra da cadeia é usada quando uma função é composta, ou seja, quando temos uma função exterior aplicada a uma função interior. Se escrevemos a composição como
f(x)=h\bigl(u(x)\bigr),
a regra da cadeia diz que a derivada é
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • h é a função exterior (depende da variável genérica u);
  • u(x) é a função interior (depende de x);
  • h'(u) é a derivada de h em relação a u;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
    A regra da cadeia simplesmente multiplica a taxa de variação da parte exterior (avaliada no valor interno) pela taxa de variação da parte interior.

Passo 3

Identificar partes na nossa função:
  • Função exterior: h(u)=\ln(u).
  • Função interior: u(x)=g(x).

Passo 4

Calcular a derivada da função exterior h(u)=\ln(u).
Uma maneira rápida de ver isso é usar a propriedade de funções inversas: como e^{\ln(u)}=u, derivando ambos os lados em relação a u obtemos
\frac{d}{du}\bigl(e^{\ln(u)}\bigr)=\frac{d}{du}\bigl(u\bigr).
O lado esquerdo é e^{\ln(u)}\cdot\frac{d}{du}\bigl(\ln(u)\bigr) (regra da cadeia), e o lado direito é 1. Logo
e^{\ln(u)}\cdot h'(u)=1.
Como e^{\ln(u)}=u, segue que
h'(u)=\frac{1}{u}.
Portanto a derivada do logaritmo natural é h'(u)=\dfrac{1}{u} (válida para u>0).

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia à nossa composição f(x)=h\bigl(u(x)\bigr)=\ln\bigl(g(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo h'(u)=\dfrac{1}{u} e u(x)=g(x) obtemos
f'(x)=\frac{1}{g(x)}\cdot g'(x).
Organizando:
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 6

Observações importantes para a prova (dicas práticas):
  • A fórmula só faz sentido quando g(x)>0 (porque \ln exige argumento positivo). Também é preciso que g seja diferenciável naquele ponto.
  • Na prova, ao ver \ln(\text{algo}), já decora: derivada = (derivada do “algo”) dividido pelo próprio “algo”.
  • Exemplos rápidos para treinar:
    • Se g(x)=x^2+1, então g'(x)=2x e \dfrac{d}{dx}\ln(x^2+1)=\dfrac{2x}{x^2+1}.
    • Se g(x)=\sin x (em pontos onde \sin x>0), então g'(x)=\cos x e \dfrac{d}{dx}\ln(\sin x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x.

Resposta

f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}

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