Calcule as derivadas das funções abaixo:
y=\sqrt{z} \cdot \operatorname{sen}^{-1} z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\sqrt{z}\cdot \operatorname{sen}^{-1}z.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função escrita é o produto de duas funções de z: uma raiz quadrada e a função arco-seno (inversa do seno).
  • Em notação mais conveniente para derivar, podemos escrever \sqrt{z}=z^{1/2} e \operatorname{sen}^{-1}z=\arcsin(z).
  • Domínio natural da função: \sqrt{z} exige z\ge 0 e \arcsin(z) exige -1\le z\le 1. Juntando, o domínio real da função é [0,1].
  • O objetivo é encontrar y'(z), isto é, a derivada em função de z. Vou apresentar a derivação passo a passo e comentar sobre a validade da fórmula nos pontos da fronteira do domínio.

Passo 2

Plano de ação (sem resolver ainda): como y é produto de duas funções, vou usar a regra do produto. Para organizar, defino
u(z)=z^{1/2},\qquad v(z)=\arcsin(z),
de modo que y(z)=u(z)\,v(z). A regra do produto diz que
y'(z)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).
Agora vou calcular u'(z) e v'(z) separadamente, explicando cada regra usada.

Passo 3

Derivando u(z)=z^{1/2} (regra da potência):
  • Regra da potência: se u(z)=z^{n} com n fixo, então u'(z)=n z^{n-1}. Essa regra vem da definição de derivada aplicada a potências, e é a ferramenta padrão para potências racionais.
  • Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
u'(z)=\tfrac{1}{2} z^{\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{2} z^{-1/2}.
  • Reescrevendo em forma de raiz:
u'(z)=\dfrac{1}{2} z^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{z}}.
Observação prática: essa expressão só faz sentido para z>0 (porque aparece \sqrt{z} no denominador).

Passo 4

Derivando v(z)=\arcsin(z) (derivada do arco-seno):
  • Uma forma didática de encontrar v'(z) é usar diferenciação implícita. Tome y=\arcsin(z). Então por definição \sin(y)=z.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a z, usando a regra da cadeia para \sin(y):
\cos(y)\cdot \dfrac{dy}{dz}=1.
  • Isolando \dfrac{dy}{dz}:
\dfrac{dy}{dz}=\dfrac{1}{\cos(y)}.
  • Como \sin(y)=z, temos \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}=\sqrt{1-z^2} (escolhemos o sinal positivo porque para \arcsin a faixa principal tem \cos(y)\ge 0 quando y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]).
  • Portanto
v'(z)=\dfrac{d}{dz}\arcsin(z)=\dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}.
Observação: essa expressão é válida para -1<z<1; em z=\pm1 o denominador zera e a derivada explode (tende a infinito).

Passo 5

Aplicando a regra do produto com os derivados encontrados:
  • Lembrando u'(z)=\dfrac{1}{2\sqrt{z}} e v'(z)=\dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}, substituímos em
y'(z)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).
  • Isso dá
y'(z)=\dfrac{1}{2\sqrt{z}}\;\arcsin(z)+\sqrt{z}\;\dfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}.
É uma forma clara e frequentemente suficiente para uso em prova.

Passo 6

Opcional: simplificar a expressão para uma única fração (ajuda a ver comportamento assintótico):
  • Colocando as duas parcelas sobre o mesmo denominador 2\sqrt{z}\,\sqrt{1-z^2}:
y'(z)=\dfrac{\arcsin(z)\sqrt{1-z^2}}{2\sqrt{z}\sqrt{1-z^2}}+\dfrac{2z}{2\sqrt{z}\sqrt{1-z^2}}.
  • Somando os numeradores:
y'(z)=\dfrac{\arcsin(z)\sqrt{1-z^2}+2z}{2\sqrt{z}\sqrt{1-z^2}}.
Essa forma é útil para analisar limites, por exemplo perto de z\to 0^+ ou z\to 1^-.

Passo 7

Comentários sobre domínio e pontos especiais:
  • A fórmula detalhada
y'(z)=\dfrac{\arcsin(z)}{2\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{1-z^2}}
é válida para 0<z<1 (ambos os termos estão bem definidos).
  • No ponto z=0: a fórmula acima não pode ser usada diretamente porque aparece \dfrac{1}{\sqrt{z}}. No entanto, usando expansão assintótica \arcsin(z)\sim z quando z\to 0, temos y(z)=\sqrt{z}\,\arcsin(z)\sim z^{3/2}. Assim
y'(0)=\lim_{h\to 0^+}\dfrac{y(h)-y(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\dfrac{h^{3/2}}{h}=\lim_{h\to 0^+}h^{1/2}=0.
Portanto y é diferenciável em z=0 e y'(0)=0.
  • No ponto z=1: o segundo termo \dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{1-z^2}} diverge quando z\to 1^{-}, então a derivada tende a +\infty e a função não é diferenciável com derivada finita em z=1 (vertical tangente).

Resposta

y'(z)=\dfrac{\arcsin(z)}{2\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{1-z^2}},\qquad 0<z<1
Forma equivalente:
y'(z)=\dfrac{\arcsin(z)\sqrt{1-z^2}+2z}{2\sqrt{z}\sqrt{1-z^2}},\qquad 0<z<1
Derivada nos pontos de fronteira do domínio:
y'(0)=0,\qquad y'(1)=+\infty\\ (\text{não diferenciável com derivada finita}).ãá

Exercícios relacionados