Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função escrita é o produto de duas funções de
: uma raiz quadrada e a função arco-seno (inversa do seno). - Em notação mais conveniente para derivar, podemos escrever
e . - Domínio natural da função:
exige e exige . Juntando, o domínio real da função é . - O objetivo é encontrar
, isto é, a derivada em função de . Vou apresentar a derivação passo a passo e comentar sobre a validade da fórmula nos pontos da fronteira do domínio.
Passo 2
Plano de ação (sem resolver ainda): como
é produto de duas funções, vou usar a regra do produto. Para organizar, defino
de modo que
. A regra do produto diz que
Agora vou calcular
e
separadamente, explicando cada regra usada.
Passo 3
Derivando
(regra da potência):
- Regra da potência: se
com fixo, então . Essa regra vem da definição de derivada aplicada a potências, e é a ferramenta padrão para potências racionais. - Aplicando com
:
- Reescrevendo em forma de raiz:
Observação prática: essa expressão só faz sentido para
(porque aparece
no denominador).
Passo 4
Derivando
(derivada do arco-seno):
- Uma forma didática de encontrar
é usar diferenciação implícita. Tome . Então por definição . - Diferenciando ambos os lados em relação a
, usando a regra da cadeia para :
- Isolando
:
- Como
, temos (escolhemos o sinal positivo porque para a faixa principal tem quando ). - Portanto
Observação: essa expressão é válida para
; em
o denominador zera e a derivada explode (tende a infinito).
Passo 5
Aplicando a regra do produto com os derivados encontrados:
- Lembrando
e , substituímos em
- Isso dá
É uma forma clara e frequentemente suficiente para uso em prova.
Passo 6
Opcional: simplificar a expressão para uma única fração (ajuda a ver comportamento assintótico):
- Colocando as duas parcelas sobre o mesmo denominador
:
- Somando os numeradores:
Essa forma é útil para analisar limites, por exemplo perto de
ou
.
Passo 7
Comentários sobre domínio e pontos especiais:
- A fórmula detalhada
é válida para
(ambos os termos estão bem definidos).
- No ponto
: a fórmula acima não pode ser usada diretamente porque aparece . No entanto, usando expansão assintótica quando , temos . Assim
Portanto
é diferenciável em
e
.
- No ponto
: o segundo termo diverge quando , então a derivada tende a e a função não é diferenciável com derivada finita em (vertical tangente).
Resposta
Forma equivalente:
Derivada nos pontos de fronteira do domínio: