Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar a derivada de
usando a regra da cadeia.
Informações dadas:
- A função é
.
O que é pedido:
- Calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Entendendo a regra da cadeia de forma bem direta e prática.
Se uma função é composta, isto é, se pode ser escrita como
então a regra da cadeia diz que a derivada é
Aqui:
-
é a função externa (aquela que olha para o resultado da interna), -
é a função interna (aquela que depende de ), -
significa a derivada de em relação ao seu argumento , -
é a derivada da função interna em relação a .
Pense assim: derivar a composta é derivar a parte de fora mantendo a parte de dentro, e depois multiplicar pela derivada da parte de dentro. É tipo “deriva a casca e multiplica pela maçã por dentro”.
Passo 3
Identificar as funções externa e interna no nosso caso.
Para
podemos tomar:
- Função externa:
, onde é uma variável genérica. - Função interna:
.
Então
.
Agora precisamos de
e de
.
Passo 4
Derivar a função externa
.
A derivada da função seno é o cosseno:
Isso significa que, ao aplicar a regra da cadeia, vamos ter
como fator vindo da parte externa.
Passo 5
Derivar a função interna
.
Usando regras básicas de derivação:
- Regra do poder: a derivada de
é . - Regra da constante multiplicativa: a derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando os dois resultados.
Pela regra da cadeia,
Substituindo
e
e
,
Pode-se escrever em ordem mais conveniente para leitura:
Passo 7
Um exemplo curto para fixar: se fosse
, a interna seria
com derivada
, a externa derivaria para
, e o resultado seria
. Aqui é exatamente a mesma ideia, só que a interna é
em vez de
.
Força aí — na prova, identifique sempre a parte externa (a função “principal”, ex.:
) e a interna (o que está dentro dos parênteses), derive cada uma e multiplique.