Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
f(x)=\operatorname{sen}\left(3 x^{2}+x\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(3x^{2}+x\bigr)\, e pede para determinar a derivada de \,f usando a regra da cadeia.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(3x^{2}+x\bigr)\,.
O que é pedido:
  • Calcular \,f'(x)\,, a derivada de \,f em relação a \,x.

Passo 2

Entendendo a regra da cadeia de forma bem direta e prática.
Se uma função é composta, isto é, se pode ser escrita como
f(x)=g\bigl(u(x)\bigr),
então a regra da cadeia diz que a derivada é
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui:
  • g é a função externa (aquela que olha para o resultado da interna),
  • u(x) é a função interna (aquela que depende de x),
  • g'(t) significa a derivada de g em relação ao seu argumento t,
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Pense assim: derivar a composta é derivar a parte de fora mantendo a parte de dentro, e depois multiplicar pela derivada da parte de dentro. É tipo “deriva a casca e multiplica pela maçã por dentro”.

Passo 3

Identificar as funções externa e interna no nosso caso.
Para \,f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(3x^{2}+x\bigr)\, podemos tomar:
  • Função externa: g(t)=\operatorname{sen}(t), onde t é uma variável genérica.
  • Função interna: u(x)=3x^{2}+x.
Então f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).
Agora precisamos de g'(t) e de u'(x).

Passo 4

Derivar a função externa g(t).
A derivada da função seno é o cosseno:
g'(t)=\cos(t).
Isso significa que, ao aplicar a regra da cadeia, vamos ter \cos\bigl(u(x)\bigr) como fator vindo da parte externa.

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=3x^{2}+x.
Usando regras básicas de derivação:
  • Regra do poder: a derivada de \,x^{2} é \,2x.
  • Regra da constante multiplicativa: a derivada de \,3x^{2} é \,3\cdot 2x=6x.
  • A derivada de \,x é \,1.
Portanto
u'(x)=6x+1.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando os dois resultados.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo g' e u e u',
f'(x)=\cos\bigl(3x^{2}+x\bigr)\cdot(6x+1).
Pode-se escrever em ordem mais conveniente para leitura:
f'(x)=(6x+1)\cos\bigl(3x^{2}+x\bigr).

Passo 7

Um exemplo curto para fixar: se fosse \operatorname{sen}(5x), a interna seria 5x com derivada 5, a externa derivaria para \cos, e o resultado seria 5\cos(5x). Aqui é exatamente a mesma ideia, só que a interna é 3x^{2}+x em vez de 5x.
Força aí — na prova, identifique sempre a parte externa (a função “principal”, ex.: \operatorname{sen}) e a interna (o que está dentro dos parênteses), derive cada uma e multiplique.

Resposta

f'(x)=(6x+1)\cos\bigl(3x^{2}+x\bigr)

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