Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
Dadas as funções y definidas implicitamente abaixo, encontre y^{\prime}
y^{2}+x^{2}=2

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva definida implicitamente por
y^2 + x^2 = 2
e pede a derivada y' em relação a x. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, onde aplicamos a regra da cadeia a y(x).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
y^2 + x^2 = 2
em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(2)
2y\,y' + 2x = 0

Passo 3

Agora isolamos y'. Da equação
2y\,y' + 2x = 0
vem
2y\,y' = -2x \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.

Resposta

y' = -\frac{x}{y}

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