Seja f(x)=\left(x^{2}+x-2\right) /\left(x^{2}-x\right), calcule:
\lim _{x \rightarrow-1} f(x) \text { e } \lim _{x \rightarrow 1} f(x) .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-x}
e pede os limites \lim_{x\to-1}f(x) e \lim_{x\to1}f(x). O conteúdo aqui é limite de função racional, usando fatoração e simplificação para tratar de indeterminações e continuidade.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador:
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1),
x^{2}-x = x(x-1).
Logo
f(x)=\frac{(x+2)(x-1)}{x(x-1)}.
Para x\neq1 podemos simplificar o fator (x-1) e obter
f(x)=\frac{x+2}{x}.

Passo 3

Como em x=-1 o denominador original vale (-1)^{2}-(-1)=2\neq0, a função é contínua nesse ponto. Portanto
\lim_{x\to-1}f(x)=f(-1)=\frac{-1+2}{-1}=-1.

Passo 4

Em x=1 a forma original era \tfrac{0}{0}, mas após a simplificação temos
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x}=\frac{1+2}{1}=3.

Resposta

\lim_{x\to-1}f(x)=-1 \lim_{x\to1}f(x)=3

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