1. (a) s_{n}=-\ln (n+1) ; \lim _{n \rightarrow+\infty} s_{n}=-\infty (diverge)
    (b) s_{n}=\sum_{k=2}^{n+1}\left[\ln \frac{k-1}{k}-\ln \frac{k}{k+1}\right], \lim _{n \rightarrow+\infty} s_{n}=-\ln 2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas sequências de soma de termos envolvendo logaritmos. No item (a) a soma parcial é dada diretamente por
s_{n}=-\ln(n+1),
e precisamos estudar \lim_{n\to+\infty}s_{n}.
No item (b) a soma parcial é
s_{n}=\sum_{k=2}^{n+1}\Bigl[\ln\frac{k-1}{k}-\ln\frac{k}{k+1}\Bigr],
e devemos calcular \lim_{n\to+\infty}s_{n}.
Conteúdos usados: comportamento do logaritmo para argumentos grandes e séries telescópicas.

Passo 2

Item (a): observar que \ln(n+1)\to+\infty quando n\to+\infty. Então
s_{n}=-\ln(n+1)\;\longrightarrow\;-\,\infty.
Como o limite não é finito, dizemos que a sequência diverge para -\infty.

Passo 3

Item (b): cada termo da soma é
t_{k}=\ln\frac{k-1}{k}-\ln\frac{k}{k+1}.
Usamos a propriedade \ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b} para ver a estrutura de cancelamento.

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos:
\begin{aligned} k=2:&\quad\ln\frac{1}{2}-\ln\frac{2}{3},\\\ k=3:&\quad\ln\frac{2}{3}-\ln\frac{3}{4},\\\ k=4:&\quad\ln\frac{3}{4}-\ln\frac{4}{5},\\\ &\;\;\vdots\\\ k=n+1:&\quad\ln\frac{n}{\,n+1\,}-\ln\frac{n+1}{\,n+2\,}. \end{aligned}
Fica claro que tudo se cancela, restando apenas
s_{n}=\ln\frac{1}{2}-\ln\frac{n+1}{\,n+2\,}.

Passo 5

Agora calculamos o limite:
\lim_{n\to+\infty}s_{n} =\ln\frac{1}{2}-\lim_{n\to+\infty}\ln\frac{n+1}{n+2} =\ln\frac{1}{2}-\ln 1 =-\ln 2.

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{n\to+\infty}s_{n}=-\infty (diverge).
(b) \displaystyle\lim_{n\to+\infty}s_{n}=-\ln 2.

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