Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento:
7.
f(x)=\frac{x^{4}}{x^{2}+2}+\frac{x^{3}}{x^{2}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{4}}{x^{2}+2}+\frac{x^{3}}{x^{2}+2x}
O conteúdo principal é a aplicação da regra do quociente em cada parcela, além da regra da soma de derivadas e da simplificação algébrica via regra do produto e potenciação.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo \displaystyle \frac{x^{4}}{x^{2}+2}.
Sejam
u(x)=x^{4},\quad v(x)=x^{2}+2.
Pela regra do quociente:
\bigl(u/v\bigr)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui
u'(x)=4x^{3}, \quad v'(x)=2x,
logo
\left(\frac{x^4}{x^2+2}\right)' =\frac{4x^{3}(x^{2}+2)-x^{4}\cdot 2x}{(x^{2}+2)^{2}} =\frac{4x^{5}+8x^{3}-2x^{5}}{(x^{2}+2)^{2}} =\frac{2x^{3}(x^{2}+4)}{(x^{2}+2)^{2}}.

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo \displaystyle \frac{x^{3}}{x^{2}+2x}.
Sejam
u(x)=x^{3},\quad v(x)=x^{2}+2x,
então
u'(x)=3x^{2}, \quad v'(x)=2x+2=2(x+1).
Pela regra do quociente:
\left(\frac{x^3}{x^2+2x}\right)' =\frac{3x^{2}(x^{2}+2x)-x^{3}\cdot(2x+2)}{(x^{2}+2x)^{2}} =\frac{3x^{4}+6x^{3}-2x^{4}-2x^{3}}{(x^{2}+2x)^{2}} =\frac{x^{3}(x+4)}{(x^{2}+2x)^{2}}.
Além disso, como (x^{2}+2x)^{2}=x^{2}(x+2)^{2}, podemos simplificar:
\frac{x^{3}(x+4)}{x^{2}(x+2)^{2}} =\frac{x(x+4)}{(x+2)^{2}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =\frac{2x^{3}(x^{2}+4)}{(x^{2}+2)^{2}} +\frac{x(x+4)}{(x+2)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{2x^{3}(x^{2}+4)}{(x^{2}+2)^{2}} +\frac{x(x+4)}{(x+2)^{2}}.

Exercícios relacionados