Determine se a descontinuidade é removivel ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0,0), de tal forma que a nova função seja contínua em (0,0).
f(x, y)=\frac{2 y^{2}-3 x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{2y^{2}-3xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
para (x,y)\neq(0,0), e está implícito que f(0,0) não está definida. O conteúdo aqui é continuidade em várias variáveis, então precisamos estudar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0), definimos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então
\lvert f(x,y)\rvert =\frac{\lvert 2y^{2}-3xy\rvert}{r} \le\frac{2|y|^{2}+3|x|\,|y|}{r}.

Passo 3

Como |x|\le r e |y|\le r, segue
2|y|^{2}+3|x|\,|y|\le 2r^{2}+3r^{2}=5r^{2},
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\lvert f(x,y)\rvert\le\frac{5r^{2}}{r}=5r.

Passo 4

À medida que (x,y)\to(0,0), temos r\to0 e portanto
\lvert f(x,y)\rvert\le5r\\ \longrightarrow\\\ 0.
Pelo Teorema do Confronto (squeeze),
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 5

Como o limite existe e é finito, a descontinuidade em (0,0) é removível. Basta redefinir
f(0,0)=0
para tornar f contínua em (0,0).

Resposta

A descontinuidade é removível. Definindo f(0,0)=0, a função fica contínua em (0,0).

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