Resolva as seguintes equações diferenciais:
(1.5 ponto) y^{\prime}=y^{2} x^{3}, y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = y^{2}x^{3},
com a condição inicial y(0)=3.
Este é um problema de EDO separável, em que podemos escrever a derivada como produto de uma função de y e outra de x, e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Para separar variáveis, escrevemos
\frac{dy}{dx} = y^{2}x^{3}
e dividimos por y^{2} e multiplicamos por dx, obtendo
\frac{1}{y^{2}}\,dy = x^{3}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = \int x^{3}\,dx.
No lado esquerdo usamos \int y^{-2}dy = -y^{-1} e no direito \int x^{3}dx = x^{4}/4, então
-\frac{1}{y} = \frac{x^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=3. Para x=0 e y=3, a expressão fica
-\frac{1}{3} = \frac{0^{4}}{4} + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo C de volta em
-\frac{1}{y} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3},
multiplicamos por -1 e invertemos para isolar y:
\frac{1}{y} = \frac{1}{3} - \frac{x^{4}}{4},
y = \frac{1}{\frac{1}{3} - \frac{x^{4}}{4}} = \frac{1}{\frac{4-3x^{4}}{12}} = \frac{12}{4 - 3x^{4}}.

Resposta

y(x) = \frac{12}{4 - 3x^{4}}.

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