Resolva as seguintes equações diferenciais:
(2 pontos )(5 x+4 y) d x+\left(4 x-8 y^{3}\right) d y=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(5x+4y)\,dx + \bigl(4x - 8y^3\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(0)=2. Isto é uma equação de exatas, então vamos verificar a exatidão e buscar uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = 5x+4y \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = 4x - 8y^3.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 5x + 4y, \quad N(x,y) = 4x - 8y^3.
Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 4.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) integrando M em relação a x:
\Phi(x,y) = \int (5x+4y)\,dx = \frac{5}{2}x^2 + 4xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciando \Phi em relação a y e igualando a N,
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = 4x + h'(y) \stackrel{!}{=} 4x - 8y^3 \;\Longrightarrow\; h'(y) = -8y^3 \;\Longrightarrow\; h(y) = -2y^4.
Logo a solução implícita é
\Phi(x,y) = \frac{5}{2}x^2 + 4xy - 2y^4 = C.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=2, obtemos
\Phi(0,2) = 0 + 0 - 2\cdot(2)^4 = -32 = C.
Portanto a solução geral com a condição inicial é
\frac{5}{2}x^2 + 4xy - 2y^4 + 32 = 0.

Resposta

\frac{5}{2}x^2 + 4xy - 2y^4 + 32 = 0.

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