determinar e desenhar a região D do plano xy tal que \iint_{D} f(x,y)\,dA seja igual à integral dada;
representar a mesma integral dupla trocando a ordem de integração (ou seja, escrever a outra integral iterada);
para f(x,y)=\operatorname{sec}^{3}x, calcular o valor numérico da integral dupla.
Informações relevantes fornecidas:
A variável y varia de 0 a 1: 0\le y\le1.
Para cada y nessa faixa, a variável x varia de 0 até x=\arctan y: 0\le x\le \arctan y.
Passo 2
Interpretando geometricamente, o par de desigualdades
0\le y\le1,\qquad 0\le x\le \arctan y
define a região D no plano xy constituída por todos os pontos (x,y) cujo y está entre 0 e 1 e cujo x está entre 0 e a curva x=\arctan y. Em palavras: é a região abaixo da linha y=1, acima de y=0, à direita do eixo x=0 e à esquerda da curva x=\arctan y.
Observação útil sobre a curva: a função y\mapsto \arctan y é crescente e \arctan 0=0,\\ \arctan 1=\pi/4. Portanto a curva vai de (0,0) até (\pi/4,1).
Passo 3
Para desenhar mentalmente (ou no papel) a região D:
marque os pontos (0,0) e (\pi/4,1);
desenhe a curva x=\arctan y (ou equivalentemente a curva y=\tan x no intervalo 0\le x\le\pi/4);
a região D é a área entre o eixo y=0, a reta y=1, e a curva x=\arctan y, com x\ge0.
Passo 4
Agora vamos trocar a ordem de integração. Partimos da condição que define D:
0\le y\le1,\qquad 0\le x\le \arctan y.
Para inverter a ordem, resolvemos para y em função de x. A desigualdade x\le \arctan y é equivalente (pela monotonidade de \tan em [0,\pi/2)) a
\tan x \le y.
Sabendo que x vai de 0 até \arctan 1=\pi/4, obtemos os limites em x:
0\le x\le \pi/4,
e, para cada x fixo, y varia de y=\tan x até y=1:
\tan x \le y \le 1.
Passo 5
Portanto a integral dupla pode ser escrita trocando a ordem como
Isto é a representação pedida da mesma integral por meio da outra integral iterada.
Passo 6
Agora calculamos a integral para f(x,y)=\operatorname{sec}^{3}x. Note que \operatorname{sec}^{3}x depende só de x, então, ao usar a integral com a ordem recém-obtida,
No integrando \operatorname{sec}^{3}x é constante em y, então a integração em y apenas multiplica pelo comprimento do intervalo em y, que é 1-\tan x. Assim
Cálculo de I_1=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}x\,dx. Método padrão (integração por partes usando uma identidade):
escreve-se \operatorname{sec}^{3}x=\operatorname{sec} x\operatorname{sec}^{2}x. Tomando u=\operatorname{sec} x e dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, obtemos du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx e v=\tan x. Pela integração por partes:
Cálculo de I_2=\int_{0}^{\pi/4}\tan x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx. Note que podemos escrever I_2=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{2}x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx. Fazendo a substituição u=\operatorname{sec} x temos du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx. Assim