Determine e desenhe a região D do plano x y tal que
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\operatorname{arctg} y} f(x, y) d x d y=\iint_{D} f(x, y) d A
A seguir, represente esta integral dupla por meio da outra integral iterada e calcule o valor da integral para f(x, y)=\operatorname{sec} ^{3} x.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\operatorname{arctg} y} f(x,y)\,dx\,dy
e pede três coisas:
  • determinar e desenhar a região D do plano xy tal que \iint_{D} f(x,y)\,dA seja igual à integral dada;
  • representar a mesma integral dupla trocando a ordem de integração (ou seja, escrever a outra integral iterada);
  • para f(x,y)=\operatorname{sec}^{3}x, calcular o valor numérico da integral dupla.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável y varia de 0 a 1: 0\le y\le1.
  • Para cada y nessa faixa, a variável x varia de 0 até x=\arctan y: 0\le x\le \arctan y.

Passo 2

Interpretando geometricamente, o par de desigualdades
0\le y\le1,\qquad 0\le x\le \arctan y
define a região D no plano xy constituída por todos os pontos (x,y) cujo y está entre 0 e 1 e cujo x está entre 0 e a curva x=\arctan y. Em palavras: é a região abaixo da linha y=1, acima de y=0, à direita do eixo x=0 e à esquerda da curva x=\arctan y.
Observação útil sobre a curva: a função y\mapsto \arctan y é crescente e \arctan 0=0,\\ \arctan 1=\pi/4. Portanto a curva vai de (0,0) até (\pi/4,1).

Passo 3

Para desenhar mentalmente (ou no papel) a região D:
  • marque os pontos (0,0) e (\pi/4,1);
  • desenhe a curva x=\arctan y (ou equivalentemente a curva y=\tan x no intervalo 0\le x\le\pi/4);
  • a região D é a área entre o eixo y=0, a reta y=1, e a curva x=\arctan y, com x\ge0.

Passo 4

Agora vamos trocar a ordem de integração. Partimos da condição que define D:
0\le y\le1,\qquad 0\le x\le \arctan y.
Para inverter a ordem, resolvemos para y em função de x. A desigualdade x\le \arctan y é equivalente (pela monotonidade de \tan em [0,\pi/2)) a
\tan x \le y.
Sabendo que x vai de 0 até \arctan 1=\pi/4, obtemos os limites em x:
0\le x\le \pi/4,
e, para cada x fixo, y varia de y=\tan x até y=1:
\tan x \le y \le 1.

Passo 5

Portanto a integral dupla pode ser escrita trocando a ordem como
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{\pi/4}\int_{y=\tan x}^{1} f(x,y)\,dy\,dx.
Isto é a representação pedida da mesma integral por meio da outra integral iterada.

Passo 6

Agora calculamos a integral para f(x,y)=\operatorname{sec}^{3}x. Note que \operatorname{sec}^{3}x depende só de x, então, ao usar a integral com a ordem recém-obtida,
\iint_{D} \operatorname{sec}^{3}x\,dA = \int_{x=0}^{\pi/4}\int_{y=\tan x}^{1} \operatorname{sec}^{3}x \,dy\,dx.
No integrando \operatorname{sec}^{3}x é constante em y, então a integração em y apenas multiplica pelo comprimento do intervalo em y, que é 1-\tan x. Assim
\iint_{D} \operatorname{sec}^{3}x\,dA = \int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{3}x\,(1-\tan x)\,dx.

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{3}x\,(1-\tan x)\,dx = \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}x\,dx \;-\; \int_{0}^{\pi/4}\tan x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx.
Denotemos
I_1=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}x\,dx,\qquad I_2=\int_{0}^{\pi/4}\tan x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx,
então a integral buscada é I_1-I_2.

Passo 8

Cálculo de I_1=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}x\,dx. Método padrão (integração por partes usando uma identidade):
escreve-se \operatorname{sec}^{3}x=\operatorname{sec} x\operatorname{sec}^{2}x. Tomando u=\operatorname{sec} x e dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, obtemos du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx e v=\tan x. Pela integração por partes:
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \tan x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx.
Usando \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1 segue
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec} x(\operatorname{sec}^{2}x-1)\,dx = \operatorname{sec} x\tan x - \int \operatorname{sec}^{3}x\,dx + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Passando \int\operatorname{sec}^{3}x\,dx para o lado esquerdo,
2\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \operatorname{sec} x\tan x + \int \operatorname{sec} x\,dx.
Como \int \operatorname{sec} x\,dx = \ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+C, obtemos a primitiva
\int \operatorname{sec}^{3}x\,dx = \tfrac{1}{2}\operatorname{sec} x\tan x + \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| + C.
Avaliando de 0 a \pi/4:
  • em x=\pi/4: \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2}, \tan(\pi/4)=1, então a primitiva vale \tfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot1 + \tfrac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1).
  • em x=0: \operatorname{sec} 0=1, \tan 0=0, então primitiva vale 0 + \tfrac{1}{2}\ln(1)=0.
Logo
I_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1).

Passo 9

Cálculo de I_2=\int_{0}^{\pi/4}\tan x\,\operatorname{sec}^{3}x\,dx. Note que podemos escrever I_2=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{2}x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx. Fazendo a substituição u=\operatorname{sec} x temos du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx. Assim
I_2=\int_{x=0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{2}x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)\,dx = \int_{u=\operatorname{sec} 0}^{u=\operatorname{sec}(\pi/4)} u^{2}\,du.
Os limites são \operatorname{sec} 0=1 e \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2}. Integrando:
I_2 = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{3}-1}{3} = \frac{2\sqrt{2}-1}{3}.

Passo 10

Subtraindo I_2 de I_1:
\iint_{D}\operatorname{sec}^{3}x\,dA = I_1-I_2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1)\right) - \frac{2\sqrt{2}-1}{3}.
Agrupando termos semelhantes:
\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}\!\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{6},
e o termo constante restante é +\dfrac{1}{3}. Portanto a expressão simplificada é
\iint_{D}\operatorname{sec}^{3}x\,dA = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1).

Resposta

D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\\\ 0\le x\le \arctan y\}=\{(x,y)\mid 0\le x\le \pi/4,\\ \tan x\le y\le1\}
\displaystyle \iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{x=0}^{\pi/4}\int_{y=\tan x}^{1} f(x,y)\,dy\,dx
\displaystyle \iint_{D} \operatorname{sec}^{3}x\,dA=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{2}\ln(\sqrt{2}+1)

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