1. \lim _{x \rightarrow 4}\left(\ln x^{2}-x^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 4:
\lim_{x\to 4}\left(\ln x^{2}-x^{-2}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é \ln x^{2}-x^{-2}.
  • O ponto de aproximação é x=4.
  • Não há imagens nem informações adicionais.

Passo 2

Recordando regras básicas de limites que vamos usar (curta “aula” prática):
  • A operação “limite da soma/diferença” permite separar limites: se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x).
  • Funções elementares como potência x^n (para inteiro n) e a função logarítmica \ln x são contínuas em seus domínios. Isso implica que se o valor de a está no domínio da função, então \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Neste problema, devemos verificar se cada parte da expressão tem limite quando x\to 4 e então aplicar a regra da diferença.

Passo 3

Verificar domínio e continuidade no ponto x=4:
  • A função x\mapsto x^{-2} é contínua em todo \mathbb{R}\setminus\{0\}; em particular é contínua em x=4.
  • A função x\mapsto \ln x^{2} precisa que x^{2}>0. Para todo x\neq 0 tem-se x^{2}>0, logo \ln x^{2} está definida e é contínua em x=4.
  • Como ambas as partes são contínuas em x=4, os limites existem e podemos simplesmente avaliar as funções em x=4.

Passo 4

Avaliar cada termo no ponto x=4:
  • Para \ln x^{2}, substituindo x=4 temos
\ln 4^{2}=\ln 16.
Observação adicional (útil na prova): pode-se usar \ln 16=\ln(2^{4})=4\ln 2, caso queira expressar em \ln 2.
  • Para x^{-2}, substituindo x=4 temos
4^{-2}=\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{16}.

Passo 5

Aplicar a regra da diferença de limites e combinar os resultados:
\lim_{x\to 4}\left(\ln x^{2}-x^{-2}\right) = \lim_{x\to 4}\ln x^{2} - \lim_{x\to 4}x^{-2} = \ln 16-\frac{1}{16}.

Passo 6

Interpretação final (dica para a prova): sempre que estiveres a aproximar de um ponto onde as funções componentes são contínuas, apenas substitui o valor; verifica domínio antes. Se o ponto estivesse em 0 terias que ter cuidado com \ln x^{2} e x^{-2}.

Resposta

\ln 16-\dfrac{1}{16}

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