1. \lim _{x \rightarrow b^{+}}\left(\frac{1}{x}-\ln x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to b^{+}}\left(\frac{1}{x}-\ln x\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão contém \ln x, que está definida apenas para x>0.
  • O limite é unilaterial pela direita em torno de b (isto é, x aproxima-se de b por valores maiores que b).
O que precisamos decidir antes de calcular é se a expressão está definida em pontos arbitrariamente próximos a b pela direita — isso vai depender do valor de b. Portanto teremos que analisar casos diferentes para b.

Passo 2

Primeiro lembrete útil sobre limites e continuidade (explicação didática):
  • Se duas funções f e g são contínuas num ponto c, então f+g, f-g e f\cdot g são contínuas em c e o limite quando x\to c pode ser obtido simplesmente substituindo x=c.
  • A função x\mapsto 1/x é contínua em todo x\neq0. A função x\mapsto \ln x é contínua em todo x>0.
  • Para limites unilaterais: \lim_{x\to b^+}F(x) só faz sentido se F(x) estiver definida para valores de x arbitrariamente próximos de b com x>b.
Então devemos dividir o problema em casos segundo a posição de b em relação a 0.

Passo 3

Caso 1: suponha b>0.
Explicação: tanto x\mapsto 1/x quanto x\mapsto \ln x são contínuas em b porque b>0. A diferença de duas funções contínuas é contínua, logo o limite unilar pela direita (que coincide com o limite bilateral aqui) é o valor da função em b.
Aplicando isso:
\lim_{x\to b^{+}}\left(\frac{1}{x}-\ln x\right) = \frac{1}{b}-\ln b.
Comentário didático curto: na prova, quando ambos os termos são contínuos no ponto de interesse, basta substituir x=b.

Passo 4

Caso 2: suponha b=0.
Aqui \ln x é definida para x>0, então o limite pela direita (valores x>0 aproximando 0) faz sentido. Vamos estudar o comportamento de \frac{1}{x}-\ln x quando x\to0^{+}.
Reescrevemos a expressão para evidenciar o termo dominante:
\frac{1}{x}-\ln x=\frac{1}{x}\bigl(1 - x\ln x\bigr).
Se conseguirmos mostrar que \lim_{x\to0^{+}} x\ln x = 0, então para x suficientemente pequeno o fator (1 - x\ln x) fica próximo de 1 e, portanto, o comportamento assintótico é dominado por 1/x.
Prova rápida de \lim_{x\to0^{+}} x\ln x = 0 (explicação didática simples):
  • Faça a substituição x=e^{-t} com t\to+\infty. Então
x\ln x = e^{-t}\cdot(-t) = -t e^{-t}.
Como exponencial domina polinomial, t e^{-t}\to0 quando t\to\infty. Logo x\ln x\to0 quando x\to0^{+}.
Assim existe \delta>0 tal que, para 0<x<\delta, tem-se |x\ln x|<\tfrac{1}{2}. Então para esses x,
\frac{1}{x}-\ln x = \frac{1}{x}\bigl(1-x\ln x\bigr) \ge \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{2}.
Como \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\to+\infty quando x\to0^{+}, segue que
\lim_{x\to0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\ln x\right)=+\infty.
Conclusão didática: o termo 1/x cresce muito mais rápido que |\ln x| quando x\to0^{+}, por isso a diferença diverge para +\infty.

Passo 5

Caso 3: suponha b<0.
Explicação: para existir o limite \lim_{x\to b^{+}}(\cdots) é necessário que a expressão esteja definida para valores x em intervalos do tipo (b,b+\varepsilon) arbitrariamente próximos de b. Mas se b<0 então, tomando \varepsilon pequeno (por exemplo \varepsilon<|b|), todos os x\in(b,b+\varepsilon) são negativos, e para esses x a função \ln x não está definida. Portanto não existe uma vizinhança à direita de b em que a função esteja definida, logo o limite não pode ser calculado (a expressão não é definida em pontos suficientemente próximos de b pela direita). Formalmente: a função nem sequer tem uma vizinhança direita no domínio, então o limite não existe/é não definido.

Passo 6

Resumo final das possibilidades (lembrando que o enunciado não especificou b, então devemos listar os resultados conforme o caso):
  • Se b>0, o limite é \dfrac{1}{b}-\ln b.
  • Se b=0, o limite é +\infty.
  • Se b<0, a expressão \dfrac{1}{x}-\ln x não está definida em qualquer vizinhança direita de b, logo o limite não existe (não é definido).

Resposta

Se b>0: \dfrac{1}{b}-\ln b.
Se b=0: +\infty.
Se b<0: o limite não existe (a expressão não está definida em torno de b pela direita).

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