Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão contém
, que está definida apenas para . - O limite é unilaterial pela direita em torno de
(isto é, aproxima-se de por valores maiores que ).
O que precisamos decidir antes de calcular é se a expressão está definida em pontos arbitrariamente próximos a
pela direita — isso vai depender do valor de
. Portanto teremos que analisar casos diferentes para
.
Passo 2
Primeiro lembrete útil sobre limites e continuidade (explicação didática):
- Se duas funções
e são contínuas num ponto , então , e são contínuas em e o limite quando pode ser obtido simplesmente substituindo . - A função
é contínua em todo . A função é contínua em todo . - Para limites unilaterais:
só faz sentido se estiver definida para valores de arbitrariamente próximos de com .
Então devemos dividir o problema em casos segundo a posição de
em relação a
.
Passo 3
Caso 1: suponha
.
Explicação: tanto
quanto
são contínuas em
porque
. A diferença de duas funções contínuas é contínua, logo o limite unilar pela direita (que coincide com o limite bilateral aqui) é o valor da função em
.
Aplicando isso:
Comentário didático curto: na prova, quando ambos os termos são contínuos no ponto de interesse, basta substituir
.
Passo 4
Caso 2: suponha
.
Aqui
é definida para
, então o limite pela direita (valores
aproximando
) faz sentido. Vamos estudar o comportamento de
quando
.
Reescrevemos a expressão para evidenciar o termo dominante:
Se conseguirmos mostrar que
, então para
suficientemente pequeno o fator
fica próximo de
e, portanto, o comportamento assintótico é dominado por
.
Prova rápida de
(explicação didática simples):
- Faça a substituição
com . Então
Como exponencial domina polinomial,
quando
. Logo
quando
.
Assim existe
tal que, para
, tem-se
. Então para esses
,
Como
quando
, segue que
Conclusão didática: o termo
cresce muito mais rápido que
quando
, por isso a diferença diverge para
.
Passo 5
Caso 3: suponha
.
Explicação: para existir o limite
é necessário que a expressão esteja definida para valores
em intervalos do tipo
arbitrariamente próximos de
. Mas se
então, tomando
pequeno (por exemplo
), todos os
são negativos, e para esses
a função
não está definida. Portanto não existe uma vizinhança à direita de
em que a função esteja definida, logo o limite não pode ser calculado (a expressão não é definida em pontos suficientemente próximos de
pela direita). Formalmente: a função nem sequer tem uma vizinhança direita no domínio, então o limite não existe/é não definido.
Passo 6
Resumo final das possibilidades (lembrando que o enunciado não especificou
, então devemos listar os resultados conforme o caso):
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é . - Se
, a expressão não está definida em qualquer vizinhança direita de , logo o limite não existe (não é definido).
Resposta
Se
:
.
Se :
.
Se : o limite não existe (a expressão não está definida em torno de
pela direita).
Se
Se