Determine o desenvolvimento em série de Taylor da função
. Sugestão: Derive!
Passo 1
O enunciado pede: determinar o desenvolvimento em série de Taylor (Maclaurin) da função
.
Informações dadas: a função é . Vamos supor o desenvolvimento centrado em
(Maclaurin), que é o habitual quando o enunciado não especifica outro ponto.
O que se espera: uma expressão em série de potências de que converge para
numa vizinhança de
.
Informações dadas: a função é
O que se espera: uma expressão em série de potências de
Passo 2
Uma identidade trigonométrica muito útil (e simples de provar) é a identidade de ângulo duplo para cosseno:
Isolando
obtemos
Explicação rápida de onde vem:
e como
, somando essas duas equações dá
. Portanto podemos substituir
por
para transformar o problema em expandir
.
Passo 3
Agora precisamos da série de Taylor (em torno de
) para
. Lembrete do conceito: a série de Taylor de uma função
em torno de
é
onde
é a n-ésima derivada de
em
.
Para
as derivadas cíclicas em
são:
Isto leva à série bem conhecida (mostro a forma e explico as variáveis):
Aqui
é um índice inteiro não negativo; apenas potências pares aparecem porque todas as derivadas de ordem ímpar de
em
são zero. A série acima tem raio de convergência infinito, então vale para todos
.
Passo 4
Substituímos
na série de
:
Agora usamos a identidade do Passo 2:
Vamos manipular um pouco a soma para obter uma forma mais direta: o termo com
na soma é
. Assim
Os dois primeiros termos se cancelam (
), então obtemos
Podemos simplificar o sinal e fatorar
para escrever os coeficientes numa forma mais bonita:
Essa é a forma geral da série em potências pares. Aqui a série começa em
porque o termo constante anulou.
Passo 5
Para ficar mais concreto, escrevo os primeiros termos (expandindo a soma):
calculemos alguns coeficientes com a fórmula :
calculemos alguns coeficientes com a fórmula
- Para
: , então termo é . - Para
: , então termo . - Para
: , então termo .
Assim os primeiros termos são
coerente com calcular
termo a termo (por exemplo
dá exatamente esses coeficientes).
Passo 6
Resumo do que obtivemos: a série de Taylor (Maclaurin) de
é uma série em potências pares com coeficiente geral dado em função de
. A derivação foi feita substituindo
pela sua série e simplificando.