Determine o desenvolvimento em série de Taylor da função f(z)=\sin ^{2} z. Sugestão: Derive!

Passo 1

O enunciado pede: determinar o desenvolvimento em série de Taylor (Maclaurin) da função f(z)=\sin^{2} z.
Informações dadas: a função é f(z)=\sin^{2} z. Vamos supor o desenvolvimento centrado em z=0 (Maclaurin), que é o habitual quando o enunciado não especifica outro ponto.
O que se espera: uma expressão em série de potências de z que converge para \sin^{2} z numa vizinhança de 0.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica muito útil (e simples de provar) é a identidade de ângulo duplo para cosseno:
\cos(2z)=1-2\sin^{2}z.
Isolando \sin^{2}z obtemos
\sin^{2}z=\frac{1-\cos(2z)}{2}.
Explicação rápida de onde vem: \cos(2z)=\cos^{2}z-\sin^{2}z e como \cos^{2}z+\sin^{2}z=1, somando essas duas equações dá \cos(2z)=1-2\sin^{2}z. Portanto podemos substituir \sin^{2}z por \tfrac{1-\cos(2z)}{2} para transformar o problema em expandir \cos(2z).

Passo 3

Agora precisamos da série de Taylor (em torno de 0) para \cos w. Lembrete do conceito: a série de Taylor de uma função g(w) em torno de 0 é
g(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}w^{n},
onde g^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de g em 0.
Para g(w)=\cos w as derivadas cíclicas em 0 são:
g(0)=1,\quad g'(0)=0,\quad g''(0)=-1,\quad g^{(3)}(0)=0,\quad g^{(4)}(0)=1,\\ \dots
Isto leva à série bem conhecida (mostro a forma e explico as variáveis):
\cos w=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,w^{2n}.
Aqui n é um índice inteiro não negativo; apenas potências pares aparecem porque todas as derivadas de ordem ímpar de \cos em 0 são zero. A série acima tem raio de convergência infinito, então vale para todos w\in\mathbb{C}.

Passo 4

Substituímos w=2z na série de \cos w:
\cos(2z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,(2z)^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}}{(2n)!}\,z^{2n}.
Agora usamos a identidade do Passo 2:
\sin^{2}z=\frac{1-\cos(2z)}{2} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}}{(2n)!}\,z^{2n}.
Vamos manipular um pouco a soma para obter uma forma mais direta: o termo com n=0 na soma é \frac{(-1)^{0}2^{0}}{0!}z^{0}=1. Assim
\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}}{(2n)!}z^{2n} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot 1 \;-\;\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}}{(2n)!}z^{2n}.
Os dois primeiros termos se cancelam ( \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0), então obtemos
\sin^{2}z=\;-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n}}{(2n)!}\,z^{2n}.
Podemos simplificar o sinal e fatorar 2^{2n}=2\cdot 2^{2n-1} para escrever os coeficientes numa forma mais bonita:
\sin^{2}z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}}{(2n)!}\,z^{2n}.
Essa é a forma geral da série em potências pares. Aqui a série começa em n=1 porque o termo constante anulou.

Passo 5

Para ficar mais concreto, escrevo os primeiros termos (expandindo a soma):
calculemos alguns coeficientes com a fórmula \displaystyle a_{2n}=\frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}}{(2n)!}:
  • Para n=1: a_{2}=\dfrac{(-1)^{2}2^{1}}{2!}=\dfrac{2}{2}=1, então termo z^{2} é +z^{2}.
  • Para n=2: a_{4}=\dfrac{(-1)^{3}2^{3}}{4!}=-\dfrac{8}{24}=-\dfrac{1}{3}, então termo -\dfrac{1}{3}z^{4}.
  • Para n=3: a_{6}=\dfrac{(-1)^{4}2^{5}}{6!}=\dfrac{32}{720}=\dfrac{2}{45}, então termo \dfrac{2}{45}z^{6}.
Assim os primeiros termos são
\sin^{2}z=z^{2}-\frac{1}{3}z^{4}+\frac{2}{45}z^{6}-\cdots,
coerente com calcular (\sin z)^{2} termo a termo (por exemplo (z - z^{3}/6+\cdots)^{2} dá exatamente esses coeficientes).

Passo 6

Resumo do que obtivemos: a série de Taylor (Maclaurin) de \sin^{2}z é uma série em potências pares com coeficiente geral dado em função de n. A derivação foi feita substituindo \cos(2z) pela sua série e simplificando.

Resposta

\sin^{2}z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}}{(2n)!}\,z^{2n}
\text{ou explicitamente: }\quad \sin^{2}z=z^{2}-\frac{1}{3}z^{4}+\frac{2}{45}z^{6}-\cdots

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