Observe que as respostas para os itens (a) e (b) são diferentes, apesar das duas curvas terem as mesmas extremidades. Em geral, o valor de uma integral de linha depende não apenas das extremidades da curva, mas também da trajetória.
13.2 Integrais de linha no espaço
Suponha agora, que
seja uma curva no espaço dada por
, ou por
, onde
e
. De maneira análoga do que foi feito para duas variáveis teremos:
e também teremos a versão
Exemplo 13.0.4. Calcule
onde
é uma hélice dada por
com
.
Solução.
Exercício 13.0.1. Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(a)
onde
.
(b)
onde
é a metade direita do círculo
.
(c)
onde
é o segmento de reta que liga
a
.
(d)
em que
consiste na metade superior da circunferência
de
a
e no segmento de reta de
a
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro integrais de linha (itens (a) a (d)). Cada item dá uma curva
e uma forma integranda. Vou listar exatamente o que cada item pede e todas as informações dadas, sem ainda resolver nada.
(a) Calcular
onde
com
.
Informações dadas: .
Informações dadas:
(b) Calcular
onde
é a metade direita do círculo
.
Informações dadas: círculo de raio ; “metade direita” significa o arco com
que vai de
a
passando por
. (Orientação não especificada — para integrais escalares de linha a orientação não altera o valor.)
Informações dadas: círculo de raio
(c) Calcular
onde
é o segmento de reta que liga
a
.
Informações dadas: segmento entre os pontos dados.
Informações dadas: segmento entre os pontos dados.
(d) Calcular
onde
consiste de duas partes: a metade superior da circunferência
de
a
e depois o segmento de reta de
a
.
Observação sobre o integrando: a expressão dada é , que pode ser combinada como
. Vou usar isso diretamente.
Observação sobre o integrando: a expressão dada é
Passo 2
Conceito que vou usar (mini-aula prática): integral de linha do tipo "integral de uma função vezes
". Se
para
, então
Aqui
é a velocidade da parametrização e mede o elemento de comprimento
. Vou aplicar essa fórmula nos itens (a), (b) e (c). No item (d) a integral é do tipo
(aqui com
e
), e para essa forma a fórmula em parametrização
é
Vou mostrar passo a passo a parametrização, cálculo de derivadas, substituição e cada integral.
Passo 3
Temos
,
.
Calcular e
:
Calcular
Assim
A integranda é
. Substituindo na fórmula do Passo 2:
Passo 4
Notamos que a derivada de
é
, então a substituição
funciona bem. Faço:
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Integro:
Portanto o item (a) resulta em
.
Passo 5
A metade direita do círculo de raio
pode ser parametrizada por
com
indo de
até
(assim cobrimos a metade com
). Derivadas:
O elemento
é
pois
. A função a integrar é
. Substituo:
Multiplicando por
obtemos o integrando total:
A integral fica
Passo 6
A função
é par?
é par (pois
e a quarta potência elimina o sinal) e
é par, então o produto é par. Portanto
Faço a substituição
, então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Portanto o item (b) resulta em
.
Passo 7
O segmento que liga
a
pode ser parametrizado linearmente por
Isto porque ao variar
de
a
vamos de
até
. Derivadas:
O elemento
é
A função a integrar é
. Multiplicando por
:
Logo a integral é
Passo 8
Uma substituição conveniente é
. Além disso
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Agora integramos
. Usando integração por partes para
: tome
e
. Então
e
. Assim
Logo
Avalio de
a
:
Repare que no segundo grupo
, então aquilo se reduz a
. Portanto a diferença fica
Multiplicando pelo fator
obtemos o valor final
Essa é a forma simplificada do resultado para o item (c). (Os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos.)
Passo 9
Temos
. A curva
é composta por duas partes:
= metade superior do círculo de raio
de
a
e
= segmento de reta de
a
. O integral total é soma das integrais sobre
e
:
Passo 10
Parametrizo a semicircunferência com raio
por
pois
dá
e
dá
. Aqui
. Observação importante: para qualquer ponto do círculo
(constante). Então sobre
,
Logo
Passo 11
Parametrizo o segmento de
a
por
pois
dá
e
dá
. Então
e
Como
, a integral sobre
é
Passo 12
Somando a contribuição da semicircunferência (
) com a do segmento (
):
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)