Observe que as respostas para os itens (a) e (b) são diferentes, apesar das duas curvas terem as mesmas extremidades. Em geral, o valor de uma integral de linha depende não apenas das extremidades da curva, mas também da trajetória.

13.2 Integrais de linha no espaço

Suponha agora, que \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{3} seja uma curva no espaço dada por \gamma(t)= (x(t), y(t), z(t)), ou por \gamma(t)=x(t) \vec{i}+y(t) \vec{j}+z(t) \vec{k}, onde \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1). De maneira análoga do que foi feito para duas variáveis teremos:
\int_{\gamma} f(x, y, z) d s=\int_{a}^{b} f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t
e também teremos a versão
\int_{\gamma} P(x, y, z) d x+Q(x, y, z) d y+R(x, y, z) d z
Exemplo 13.0.4. Calcule \int_{\gamma} y \operatorname{sen}(z) d s onde \gamma é uma hélice dada por \gamma(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t) com 0 \leq t \leq 2 \pi.
Solução.
\begin{gathered} \int_{\gamma} y \operatorname{sen}(z) d s=\int_{0}^{2 \pi}(\operatorname{sen}(t)) \operatorname{sen}(t) \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t \\\ \int_{0}^{2 \pi} \operatorname{sen}^{2}(t) \sqrt{\operatorname{sen}^{2}(t)+\cos ^{2}(t)+1} d t=\sqrt{2} \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2}(1-\cos (2 t)) d t \\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\left[t-\frac{1}{2} \operatorname{sen}(2 t)\right]_{0}^{2 \pi}=\sqrt{2} \pi \end{gathered}
Exercício 13.0.1. Calcule a integral de linha, onde \gamma é a curva dada.
(a) \int_{\gamma} y^{3} d s onde \gamma(t)=\left(t^{3}, t\right), 0 \leq t \leq 2.
(b) \int_{\gamma} x y^{4} d s onde \gamma é a metade direita do círculo x^{2}+y^{2}=16.
(c) \int_{\gamma} x \operatorname{sen}(y) d s onde \gamma é o segmento de reta que liga (0,3) a (4,6).
(d) \int_{\gamma} x^{2} d y+y^{2} d y em que \gamma consiste na metade superior da circunferência x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) a (0,2) e no segmento de reta de (0,2) a (4,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais de linha (itens (a) a (d)). Cada item dá uma curva \gamma e uma forma integranda. Vou listar exatamente o que cada item pede e todas as informações dadas, sem ainda resolver nada.
(a) Calcular \displaystyle \int_{\gamma} y^{3}\,d s onde \gamma(t)=\big(t^{3},t\big) com 0\le t\le 2.
Informações dadas: \;x(t)=t^{3},\;y(t)=t,\;t\in[0,2].
(b) Calcular \displaystyle \int_{\gamma} x\,y^{4}\,d s onde \gamma é a metade direita do círculo \;x^{2}+y^{2}=16.
Informações dadas: círculo de raio 4; “metade direita” significa o arco com x\ge 0 que vai de (0,-4) a (0,4) passando por (4,0). (Orientação não especificada — para integrais escalares de linha a orientação não altera o valor.)
(c) Calcular \displaystyle \int_{\gamma} x\sin(y)\,d s onde \gamma é o segmento de reta que liga (0,3) a (4,6).
Informações dadas: segmento entre os pontos dados.
(d) Calcular \displaystyle \int_{\gamma} x^{2}\,d y + y^{2}\,d y onde \gamma consiste de duas partes: a metade superior da circunferência \;x^{2}+y^{2}=4 de (2,0) a (0,2) e depois o segmento de reta de (0,2) a (4,3).
Observação sobre o integrando: a expressão dada é \displaystyle x^{2}\,d y+y^{2}\,d y, que pode ser combinada como \displaystyle (x^{2}+y^{2})\,d y. Vou usar isso diretamente.

Passo 2

Conceito que vou usar (mini-aula prática): integral de linha do tipo "integral de uma função vezes d s". Se \gamma(t)=(x(t),y(t)) para t\in[a,b], então
\int_{\gamma} f(x,y)\,d s=\int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
Aqui \sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade da parametrização e mede o elemento de comprimento d s. Vou aplicar essa fórmula nos itens (a), (b) e (c). No item (d) a integral é do tipo \int P\,dx+Q\,dy (aqui com P=0 e Q=x^{2}+y^{2}), e para essa forma a fórmula em parametrização \gamma(t)=(x(t),y(t)) é
\int_{\gamma} P\,dx+Q\,dy=\int_{a}^{b} \big(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\big)\,dt.
Vou mostrar passo a passo a parametrização, cálculo de derivadas, substituição e cada integral.

Passo 3

Temos \gamma(t)=\big(t^{3},t\big), 0\le t\le 2.
Calcular x'(t) e y'(t):
x'(t)=3t^{2},\qquad y'(t)=1.
Assim
d s=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\,dt=\sqrt{(3t^{2})^{2}+1^{2}}\,dt=\sqrt{9t^{4}+1}\,dt.
A integranda é y^{3}=t^{3}. Substituindo na fórmula do Passo 2:
\int_{\gamma} y^{3}\,d s=\int_{0}^{2} t^{3}\sqrt{9t^{4}+1}\,dt.

Passo 4

Notamos que a derivada de 9t^{4}+1 é 36t^{3}, então a substituição u=9t^{4}+1 funciona bem. Faço:
u=9t^{4}+1\quad\Rightarrow\quad du=36t^{3}\,dt\quad\Rightarrow\quad t^{3}\,dt=\frac{1}{36}\,du.
Quando t=0 temos u=1. Quando t=2 temos u=9\cdot 16+1=145. Assim
\int_{0}^{2} t^{3}\sqrt{9t^{4}+1}\,dt=\int_{u=1}^{145}\frac{1}{36}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{36}\int_{1}^{145} u^{1/2}\,du.
Integro:
\frac{1}{36}\cdot\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{1}^{145}=\frac{1}{36}\cdot\frac{2}{3}\big(145^{3/2}-1^{3/2}\big)=\frac{1}{54}\big(145^{3/2}-1\big).
Portanto o item (a) resulta em \displaystyle \frac{1}{54}\big(145^{3/2}-1\big).

Passo 5

A metade direita do círculo de raio 4 pode ser parametrizada por
x(t)=4\cos t,\qquad y(t)=4\sin t,
com t indo de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2} (assim cobrimos a metade com x\ge 0). Derivadas:
x'(t)=-4\sin t,\qquad y'(t)=4\cos t.
O elemento d s é
d s=\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}\,dt=\sqrt{16\sin^{2}t+16\cos^{2}t}\,dt=4\,dt,
pois \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. A função a integrar é x\,y^{4}. Substituo:
x\,y^{4}=(4\cos t)\big(4\sin t\big)^{4}=4\cos t\cdot 4^{4}\sin^{4}t=1024\cos t\sin^{4}t.
Multiplicando por d s=4\,dt obtemos o integrando total:
x\,y^{4}\,d s=1024\cos t\sin^{4}t\cdot 4\,dt=4096\cos t\sin^{4}t\,dt.
A integral fica
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4096\cos t\sin^{4}t\,dt.

Passo 6

A função \cos t\sin^{4}t é par? \sin^{4}t é par (pois \sin(-t)=-\sin t e a quarta potência elimina o sinal) e \cos t é par, então o produto é par. Portanto
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4096\cos t\sin^{4}t\,dt=2\int_{0}^{\pi/2}4096\cos t\sin^{4}t\,dt=8192\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}t\cos t\,dt.
Faço a substituição u=\sin t, então du=\cos t\,dt. Quando t=0 temos u=0; quando t=\pi/2 temos u=1. Assim
8192\int_{0}^{\pi/2}\sin^{4}t\cos t\,dt=8192\int_{0}^{1}u^{4}\,du=8192\cdot\frac{1}{5}=\frac{8192}{5}.
Portanto o item (b) resulta em \displaystyle \frac{8192}{5}.

Passo 7

O segmento que liga (0,3) a (4,6) pode ser parametrizado linearmente por
\gamma(t)=(x(t),y(t))=(4t,\;3+3t),\qquad t\in[0,1].
Isto porque ao variar t de 0 a 1 vamos de (0,3) até (4,6). Derivadas:
x'(t)=4,\qquad y'(t)=3.
O elemento d s é
d s=\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}\,dt=\sqrt{4^{2}+3^{2}}\,dt=\sqrt{16+9}\,dt=5\,dt.
A função a integrar é x\sin(y)=4t\sin(3+3t). Multiplicando por d s=5\,dt:
x\sin(y)\,d s=20\,t\sin(3+3t)\,dt.
Logo a integral é
\int_{0}^{1}20\,t\sin(3+3t)\,dt.

Passo 8

Uma substituição conveniente é u=3+3t\Rightarrow du=3\,dt\Rightarrow dt=\frac{du}{3}. Além disso t=\frac{u-3}{3}. Quando t=0 temos u=3; quando t=1 temos u=6. Assim
\int_{0}^{1}20\,t\sin(3+3t)\,dt=20\int_{3}^{6}\frac{u-3}{3}\sin u\cdot\frac{du}{3}=\frac{20}{9}\int_{3}^{6}(u-3)\sin u\,du.
Agora integramos \int (u-3)\sin u\,du=\int u\sin u\,du-3\int\sin u\,du. Usando integração por partes para \int u\sin u\,du: tome A=u e dB=\sin u\,du. Então dA=du e B=-\cos u. Assim
\int u\sin u\,du=-u\cos u+\int\cos u\,du=-u\cos u+\sin u.
Logo
\int (u-3)\sin u\,du=-u\cos u+\sin u+3\cos u.
Avalio de u=3 a u=6:
\left[-u\cos u+\sin u+3\cos u\right]_{3}^{6}=(-6\cos 6+\sin 6+3\cos 6)-(-3\cos 3+\sin 3+3\cos 3).
Repare que no segundo grupo -3\cos 3+3\cos 3=0, então aquilo se reduz a \sin 3. Portanto a diferença fica
(-6\cos 6+3\cos 6+\sin 6)-\sin 3=(-3\cos 6+\sin 6-\sin 3).
Multiplicando pelo fator \frac{20}{9} obtemos o valor final
\frac{20}{9}\big(\sin 6-\sin 3-3\cos 6\big).
Essa é a forma simplificada do resultado para o item (c). (Os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos.)

Passo 9

Temos \displaystyle \int_{\gamma} x^{2}\,d y+y^{2}\,d y=\int_{\gamma} (x^{2}+y^{2})\,d y. A curva \gamma é composta por duas partes: \gamma_{1} = metade superior do círculo de raio 2 de (2,0) a (0,2) e \gamma_{2} = segmento de reta de (0,2) a (4,3). O integral total é soma das integrais sobre \gamma_{1} e \gamma_{2}:
\int_{\gamma}(x^{2}+y^{2})\,d y=\int_{\gamma_{1}}(x^{2}+y^{2})\,d y+\int_{\gamma_{2}}(x^{2}+y^{2})\,d y.

Passo 10

Parametrizo a semicircunferência com raio 2 por
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad t\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big],
pois t=0 (2,0) e t=\tfrac{\pi}{2} (0,2). Aqui y'(t)=2\cos t. Observação importante: para qualquer ponto do círculo x^{2}+y^{2}=4 (constante). Então sobre \gamma_{1},
x^{2}+y^{2}=4,\qquad d y = y'(t)\,dt=2\cos t\,dt.
Logo
\int_{\gamma_{1}}(x^{2}+y^{2})\,d y=\int_{0}^{\pi/2}4\cdot 2\cos t\,dt=8\int_{0}^{\pi/2}\cos t\,dt=8\big[\sin t\big]_{0}^{\pi/2}=8(1-0)=8.

Passo 11

Parametrizo o segmento de (0,2) a (4,3) por
\gamma_{2}(t)=(x(t),y(t))=(4t,\;2+t),\qquad t\in[0,1],
pois t=0 (0,2) e t=1 (4,3). Então y'(t)=1 e
x^{2}+y^{2}=(4t)^{2}+(2+t)^{2}=16t^{2}+t^{2}+4t+4=17t^{2}+4t+4.
Como d y = y'(t)\,dt=1\cdot dt, a integral sobre \gamma_{2} é
\int_{0}^{1}(17t^{2}+4t+4)\,dt=\left[\frac{17}{3}t^{3}+2t^{2}+4t\right]_{0}^{1}=\frac{17}{3}+2+4=\frac{17}{3}+6=\frac{35}{3}.

Passo 12

Somando a contribuição da semicircunferência ( 8) com a do segmento ( \tfrac{35}{3}):
\int_{\gamma}(x^{2}+y^{2})\,d y=8+\frac{35}{3}=\frac{24}{3}+\frac{35}{3}=\frac{59}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{54}\big(145^{3/2}-1\big)
(b) \displaystyle \frac{8192}{5}
(c) \displaystyle \frac{20}{9}\big(\sin 6-\sin 3-3\cos 6\big)
(d) \displaystyle \frac{59}{3}

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