Calcule \oint_{\left|z-\frac{\pi}{4}\right|=R} \frac{\sin ^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}} d z, R>0. Sugestão: Use a representação integral para derivadas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{\left|z-\frac{\pi}{4}\right|=R} \frac{\sin^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}\,dz,
com R>0. Informações relevantes dadas:
  • O contorno é o círculo \left|z-\frac{\pi}{4}\right|=R, centrado em z=\frac{\pi}{4} e com raio R>0.
  • O integrando é \frac{\sin^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}.
  • Foi sugerido usar a representação integral para derivadas (ou seja, a fórmula de Cauchy para derivadas).
  • Não foi especificada a orientação do contorno; adotamos a orientação positiva (anti-horária), que é a convenção padrão em problemas desse tipo.

Passo 2

Conceito-ferramenta que vamos usar (aqui eu ensino de forma didática): a fórmula de Cauchy para derivadas. Se f é holomorfa numa vizinhança de a (isto é, analítica em torno de a), então para todo inteiro n\ge 0
f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz,
onde \gamma é um contorno simples fechado positivamente que envolve a. Explicando cada símbolo:
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a.
  • n! é o fatorial de n.
  • 2\pi i vem da integral de Cauchy (é uma constante complexa).
  • A integral \oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz é a integral de contorno de f(z)/(z-a)^{n+1} ao longo de \gamma.
    Rearranjando essa fórmula para a integral que queremos, obtemos
\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz=\frac{2\pi i}{n!}\,f^{(n)}(a).
Um exemplo curto para fixar: se f(z)=e^{z} e n=1, então \oint \dfrac{e^{z}}{(z-a)^{2}}dz=\dfrac{2\pi i}{1!}f'(a)=2\pi i e^{a}.

Passo 3

Aplicando o método ao nosso problema: identifique f e a e o n adequado.
  • Tome f(z)=\sin^{2} z.
  • O pólo/centro é a=\dfrac{\pi}{4}.
  • O denominador é (z-a)^{4}=(z-a)^{n+1} com n+1=4, logo n=3.
    Como \sin^{2} z é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), podemos aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas com esse n. Portanto
\oint_{\left|z-\frac{\pi}{4}\right|=R}\frac{\sin^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}\,dz=\frac{2\pi i}{3!}\,f^{(3)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Agora precisamos calcular f^{(3)}(a) com f(z)=\sin^{2} z e a=\dfrac{\pi}{4}. Para facilitar as derivadas, vou usar a identidade trigonométrica clássica
\sin^{2} z=\frac{1-\cos(2z)}{2}.
Isto simplifica a diferenciação porque derivar \cos(2z) é direto. Definindo explicitamente
f(z)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2z).
Derivadas sucessivas (vou mostrar passo a passo):
  • Primeira derivada:
f'(z)=-\frac{1}{2}\cdot\big(\cos(2z)\big)' = -\frac{1}{2}\cdot\big(-2\sin(2z)\big)=\sin(2z).
(Expliquei: derivada de \cos(2z) é -2\sin(2z); multiplicando por -\tfrac{1}{2} \sin(2z).)
  • Segunda derivada:
f''(z)=\big(\sin(2z)\big)'=2\cos(2z).
(Porque derivada de \sin(2z) é 2\cos(2z).)
  • Terceira derivada:
f^{(3)}(z)=\big(2\cos(2z)\big)'=2\cdot\big(\cos(2z)\big)'=2\cdot(-2\sin(2z))=-4\sin(2z).
(Usei que (\cos(2z))'=-2\sin(2z).)

Passo 5

Avalie f^{(3)} em a=\dfrac{\pi}{4}:
f^{(3)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-4\sin\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=-4\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
E como \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
f^{(3)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-4.

Passo 6

Finalmente, volte à expressão da integral dada pela fórmula de Cauchy para derivadas:
\oint_{\left|z-\frac{\pi}{4}\right|=R}\frac{\sin^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}\,dz=\frac{2\pi i}{3!}\,f^{(3)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Substituindo 3!=6 e f^{(3)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-4:
\oint_{\left|z-\frac{\pi}{4}\right|=R}\frac{\sin^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}\,dz=\frac{2\pi i}{6}\cdot(-4)=\frac{\pi i}{3}\cdot(-4)=-\frac{4\pi i}{3}.

Resposta

-\dfrac{4\pi i}{3}

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