Calcule \oint_{\left|z-\frac{\pi}{4}\right|=R} \frac{\sin ^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}} d z, R>0. Sugestão: Use a representação integral para derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
O contorno é o círculo \left|z-\frac{\pi}{4}\right|=R, centrado em z=\frac{\pi}{4} e com raio R>0.
O integrando é \frac{\sin^{2} z}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{4}}.
Foi sugerido usar a representação integral para derivadas (ou seja, a fórmula de Cauchy para derivadas).
Não foi especificada a orientação do contorno; adotamos a orientação positiva (anti-horária), que é a convenção padrão em problemas desse tipo.
Passo 2
Conceito-ferramenta que vamos usar (aqui eu ensino de forma didática): a fórmula de Cauchy para derivadas. Se f é holomorfa numa vizinhança de a (isto é, analítica em torno de a), então para todo inteiro n\ge 0
onde \gamma é um contorno simples fechado positivamente que envolve a. Explicando cada símbolo:
f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em a.
n! é o fatorial de n.
2\pi i vem da integral de Cauchy (é uma constante complexa).
A integral \oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz é a integral de contorno de f(z)/(z-a)^{n+1} ao longo de \gamma.
Rearranjando essa fórmula para a integral que queremos, obtemos
Um exemplo curto para fixar: se f(z)=e^{z} e n=1, então \oint \dfrac{e^{z}}{(z-a)^{2}}dz=\dfrac{2\pi i}{1!}f'(a)=2\pi i e^{a}.
Passo 3
Aplicando o método ao nosso problema: identifique f e a e o n adequado.
Tome f(z)=\sin^{2} z.
O pólo/centro é a=\dfrac{\pi}{4}.
O denominador é (z-a)^{4}=(z-a)^{n+1} com n+1=4, logo n=3.
Como \sin^{2} z é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), podemos aplicar a fórmula de Cauchy para derivadas com esse n. Portanto
Agora precisamos calcular f^{(3)}(a) com f(z)=\sin^{2} z e a=\dfrac{\pi}{4}. Para facilitar as derivadas, vou usar a identidade trigonométrica clássica
\sin^{2} z=\frac{1-\cos(2z)}{2}.
Isto simplifica a diferenciação porque derivar \cos(2z) é direto. Definindo explicitamente