EXEMPLO 8 carro A está acelerando na direção de seu movimento na taxa de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. O carro B está contornando uma curva de 150 metros de raio a uma velocidade constante de 54 k m / h. Determine a velocidade e a aceleração que o carro B aparenta ter para um observador no carro A se o carro A atinge uma velocidade de 72 k m / h para as posições apresentadas.

Passo 1

Liste do enunciado o que se sabe e o que se pede:
  • Dados fornecidos:
    • Aceleração do carro A: \,a_A=1{,}2\\ \mathrm{m/s^2} (na direção do movimento de A).
    • Raio da curva de B: \,R=150\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade constante do carro B: \,v_B=54\\ \mathrm{km/h}.
    • Velocidade atingida por A: \,v_A=72\\ \mathrm{km/h} (no instante considerado).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a velocidade e a aceleração que o carro B aparenta ter para um observador que está no carro A, para as posições apresentadas na figura.
  • Informação importante sobre a figura:
    • O enunciado faz referência a “posições apresentadas”, mas a figura/posições não foram enviadas aqui. Sem a posição relativa entre A e B (ou a geometria da curva em relação a A), não é possível calcular os componentes vetoriais numéricos da velocidade aparente e da aceleração aparente para essas posições específicas.
  • Conclusão deste passo:
    • É possível explicar o método completo e calcular grandezas escalares (como valores numéricos de v_A, v_B e da aceleração centrípeta de B), e também dar fórmulas vetoriais gerais para obter a velocidade e aceleração aparentes. Porém, para obter os vetores numéricos finais nas “posições apresentadas” é necessário conhecer a geometria/posição relativa (que está faltando).

Passo 2

Converter as velocidades para unidades SI (m/s) e calcular valores básicos que já são determinados sem figura:
  • Conversão de \,v_B: v_B = 54\\ \mathrm{km/h} = 54\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 54\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 15\\ \mathrm{m/s}.
  • Conversão de \,v_A: v_A = 72\\ \mathrm{km/h} = 72\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração centrípeta (normal) do carro B, já que sua velocidade é constante em módulo e ele descreve uma curva de raio R: a_{c,B}=\frac{v_B^2}{R}=\frac{15^2}{150}=\frac{225}{150}=1{,}5\\ \mathrm{m/s^2}.Observação: essa aceleração aponta para o centro da curva (direção radial para dentro); não há componente tangencial de aceleração em B porque a velocidade escalar de B é constante.

Passo 3

Conceito físico: como um observador em A “vê” a velocidade e aceleração de B
  • Velocidade aparente (relativa) de B vista por A: \mathbf{v}_{B/A}=\mathbf{v}_B-\mathbf{v}_A.Aqui \mathbf{v}_B e \mathbf{v}_A são vetores de velocidade no referencial inercial (terra). A equação significa: para saber a velocidade de B relativa a A, subtrai-se do vetor velocidade de B o vetor velocidade de A.
  • Aceleração aparente (relativa) de B vista por A (referencial em translação acelerado, sem rotação): \mathbf{a}_{B/A}=\mathbf{a}_B-\mathbf{a}_A.Explicação: se o referencial do observador (A) está apenas se deslocando e acelerando (sem rotação), a aceleração medida de B relativa a A é a diferença entre as acelerações no referencial inercial. Nesse caso há também uma “força pseudo” para explicar movimentos no referencial não-inercial, mas para as componentes de aceleração relativa a relação acima é a fórmula direta. Importante: \mathbf{a}_A é a aceleração do carro A no referencial inercial (aqui \mathbf{a}_A tem módulo 1{,}2\\ \mathrm{m/s^2} na direção do movimento de A) e \mathbf{a}_B é a aceleração de B (aqui puramente centrípeta).

Passo 4

Escolher um sistema de referência conveniente e escrever vetores em termos de ângulos/posições desconhecidas
  • Convenção prática (útil na prova): tome o eixo x apontando na direção do movimento de A (para a frente de A). Tome o eixo y ortogonal à direita (formando um sistema ortonormal \{\mathbf{i},\mathbf{j}\}).
  • Vetor velocidade de A (no instante considerado), assumindo que A vai em +x: \mathbf{v}_A = v_A\,\mathbf{i} = 20\,\mathbf{i}\\ \mathrm{(m/s)}.
  • Vetor velocidade de B: como B está em curva circular, sua velocidade é tangente à curva no ponto. Seja \theta o ângulo que a direção da velocidade de B faz com o eixo x (esse \theta depende da posição de B na curva em relação ao eixo escolhido). Então: \mathbf{v}_B = v_B\big(\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j}\big)=15\big(\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\theta\,\mathbf{j}\big).Observação: \theta precisa ser determinado a partir da figura/posições.
  • Vetor aceleração de B: puramente centrípeta, direção radial para o centro da curva. Seja \mathbf{e}_r o vetor unitário apontando de B para o centro da curva; então \mathbf{a}_B = -\frac{v_B^2}{R}\,\mathbf{e}_r = -1{,}5\\ \mathbf{e}_r\\ \mathrm{(m/s^2)}.Para escrever \mathbf{e}_r em componentes é preciso conhecer a posição do centro da curva e a posição de B (isto é exatamente a parte da figura que está faltando).

Passo 5

Expressar as fórmulas de velocidade e aceleração relativas em componentes (fórmulas prontas para usar na prova)
  • Velocidade relativa (componentes): \mathbf{v}_{B/A} = \mathbf{v}_B-\mathbf{v}_A =\big(15\cos\theta-20\big)\,\mathbf{i} + \big(15\sin\theta\big)\,\mathbf{j}.Assim, se na figura o ângulo \theta for conhecido, basta substituir e obter as componentes numéricas.
  • Aceleração relativa (componentes): escrever \mathbf{e}_r=(\cos\varphi,\sin\varphi) onde \varphi é o ângulo do vetor radial (de B para o centro) medido em relação ao eixo x. Então \mathbf{a}_B = -1{,}5\big(\cos\varphi\,\mathbf{i}+\sin\varphi\,\mathbf{j}\big).A aceleração de A, como dada, é \mathbf{a}_A = 1{,}2\,\mathbf{i}.Logo \mathbf{a}_{B/A} = \mathbf{a}_B-\mathbf{a}_A =\big(-1{,}5\cos\varphi-1{,}2\big)\,\mathbf{i} + \big(-1{,}5\sin\varphi\big)\,\mathbf{j}.Observação: tanto \theta (direção da velocidade de B) quanto \varphi (direção radial para o centro) dependem da geometria/posições apresentadas na figura. Em uma curva circular com centro C, \mathbf{e}_r aponta de B para C e \mathbf{e}_t (tangente) é perpendicular a \mathbf{e}_r; sign conventions determinam \theta em função de \varphi.

Passo 6

Como aplicar na prova — passo a passo operacional (o que fazer quando tiver a figura)
  1. Identificar na figura as coordenadas ou ângulos que definem a posição de B e do centro C da curva, e a posição de A.
  2. Determinar o ângulo \varphi do vetor radial \mathbf{r}_{B\to C} (ou vetor unitário \mathbf{e}_r). A partir de \varphi pode-se obter o ângulo da tangente \theta (por exemplo, se a circulação é no sentido anti-horário, \theta=\varphi+\tfrac{\pi}{2}; se é horário, \theta=\varphi-\tfrac{\pi}{2}).
  3. Substituir \theta em \mathbf{v}_{B/A}=\big(15\cos\theta-20\big)\,\mathbf{i} + \big(15\sin\theta\big)\,\mathbf{j}e calcular as duas componentes (em \mathrm{m/s}). Se quiser o módulo: \big\lVert\mathbf{v}_{B/A}\big\rVert=\sqrt{(15\cos\theta-20)^2+(15\sin\theta)^2}.
  4. Substituir \varphi em \mathbf{a}_{B/A}=\big(-1{,}5\cos\varphi-1{,}2\big)\,\mathbf{i} + \big(-1{,}5\sin\varphi\big)\,\mathbf{j}e calcular as componentes (em \mathrm{m/s^2}) e, se desejar, o módulo: \big\lVert\mathbf{a}_{B/A}\big\rVert=\sqrt{\big(-1{,}5\cos\varphi-1{,}2\big)^2+\big(-1{,}5\sin\varphi\big)^2}.
  5. Interpretação física: sinais das componentes dizem se, do ponto de vista de A, B parece se mover para frente/para trás (componente x) e para direita/esquerda (componente y); componentes da aceleração mostram combinação entre aceleração centrípeta de B (para o centro da curva) e a aceleração de A (para frente).

Passo 7

Exemplos numéricos didáticos (ilustrativos) — atenção: são exemplos inventados para treinar o método, não são os valores pedidos pela sua figura
  • Exemplo (a) — B com velocidade perpendicular a A (situação comum de treino):
    • Suponha que \theta=90^\circ (ou \theta=\tfrac{\pi}{2}), isto é, \cos\theta=0, \sin\theta=1.
    • Então \mathbf{v}_{B/A}=(0-20)\,\mathbf{i} + (15)\,\mathbf{j} = -20\,\mathbf{i} + 15\,\mathbf{j}\\ \mathrm{m/s}.Módulo: \big\lVert\mathbf{v}_{B/A}\big\rVert=\sqrt{(-20)^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\\ \mathrm{m/s}.
    • Para a aceleração, suponha que o centro da curva esteja “abaixo” de B, isto é, \varphi=0 (radial em +x). Então \mathbf{a}_{B/A}=\big(-1{,}5\cdot 1 -1{,}2\big)\mathbf{i} + (0)\mathbf{j}=(-2{,}7)\,\mathbf{i}\\ \mathrm{m/s^2}.Aqui B pareceria ter uma aceleração para trás (componente x negativa).
  • Exemplo (b) — B diretamente à frente de A, movendo-se na mesma direção:
    • Suponha \theta=0. Então \mathbf{v}_{B/A}=(15-20)\mathbf{i} + 0\mathbf{j}=(-5)\,\mathbf{i}\\ \mathrm{m/s},ou seja, B pareceria estar se afastando para trás a 5\\ \mathrm{m/s} relativo a A.
    • Para aceleração, se a radial for \varphi=\tfrac{\pi}{2} (centro acima, o que tornaria a aceleração centrípeta em +y), então \mathbf{a}_{B/A} = (-1{,}2)\,\mathbf{i} + (-1{,}5)\,\mathbf{j}.
    • Esses exemplos mostram como a escolha de \theta e \varphi muda totalmente o resultado.

Passo 8

Resumo rápido do que efetivamente falta para dar a resposta numérica pedida e como usar o que foi calculado
  • Já calculamos números que não dependem da figura:
    • \,v_B=15\\ \mathrm{m/s}, \,v_A=20\\ \mathrm{m/s}, \,a_{c,B}=1{,}5\\ \mathrm{m/s^2}, \,a_A=1{,}2\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Para obter a velocidade e aceleração aparentes em cada posição da figura, é preciso:
    1. Determinar \theta (direção da velocidade de B no plano) a partir da figura.
    2. Determinar \varphi (direção do radial de B para o centro) a partir da figura.
    3. Substituir em \mathbf{v}_{B/A}=\big(15\cos\theta-20\big)\,\mathbf{i} + \big(15\sin\theta\big)\,\mathbf{j},e \mathbf{a}_{B/A}=\big(-1{,}5\cos\varphi-1{,}2\big)\,\mathbf{i} + \big(-1{,}5\sin\varphi\big)\,\mathbf{j},e calcular componentes e módulos.
  • Se quiser, me envie a figura (ou descreva as posições de A, B e do centro da curva), que eu faço os cálculos numéricos ponto a ponto usando exatamente o procedimento acima — eu já deixei as fórmulas prontas para isso.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a velocidade e a aceleração aparentes de B para as “posições apresentadas” porque a figura/posições não foram fornecidas; use as fórmulas acima substituindo os ângulos/posições da figura para obter os vetores finais.

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