Determine o determinante da seguinte matriz:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & \cos a & \cos 2 a \\\ \cos a & \cos 2 a & \cos 3 a \\\ \cos 2 a & \cos 3 a & \cos 4 a \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & \cos a & \cos 2a \\[6pt] \cos a & \cos 2a & \cos 3a \\[6pt] \cos 2a & \cos 3a & \cos 4a \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é expansão de determinante de 3\times3 e simplificação usando identidades trigonométricas (produto-para-soma).]

Passo 2

Expandimos o determinante por cofatores na primeira linha:
\det A =1\cdot\bigl(\cos2a\cos4a-\cos^2 3a\bigr) -\cos a\cdot\bigl(\cos a\cos4a-\cos2a\cos3a\bigr) +\cos2a\cdot\bigl(\cos a\cos3a-\cos^2 2a\bigr).

Passo 3

Agora usamos identidades produto-para-soma:
  1. \cos2a\cos4a-\cos^2 3a =\tfrac{\cos6a+\cos2a}2-\tfrac{1+\cos6a}2 =\tfrac{\cos2a-1}2 =-\sin^2a.
  2. \cos a\cos4a-\cos2a\cos3a =\tfrac{\cos5a+\cos3a}2-\tfrac{\cos5a+\cos a}2 =\tfrac{\cos3a-\cos a}2 =-\sin2a\sin a.
  3. \cos a\cos3a-\cos^2 2a =\tfrac{\cos4a+\cos2a}2-\tfrac{1+\cos4a}2 =\tfrac{\cos2a-1}2 =-\sin^2a.

Passo 4

Substituindo esses resultados:
\displaystyle \det A =1\cdot(-\sin^2a) -\cos a\cdot\bigl(-\sin2a\sin a\bigr) +\cos2a\cdot(-\sin^2a).
Observe que \sin2a=2\sin a\cos a. Então
-\cos a\bigl(-\sin2a\sin a\bigr) =\cos a\,(2\sin a\cos a)\,\sin a =2\sin^2a\cos^2a.
Logo
\det A =-\sin^2a +2\sin^2a\cos^2a -\sin^2a\cos2a =\sin^2a\bigl[-1+2\cos^2a-\cos2a\bigr].
Mas 2\cos^2a-1=\cos2a, de modo que
-1+2\cos^2a-\cos2a =\cos2a-\cos2a=0.

Passo 5

O fator \sin^2a multiplica zero, e portanto
\det A = 0.

Resposta

0

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