Determine a diferença de potencial entre dois pontos a 0.3 m e 0.7 m de uma carga linear \sigma=4 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} ao longo do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial elétrico entre dois pontos situados a r_1=0,3 m e r_2=0,7 m de uma carga linear infinita de densidade \lambda=4\,\mu\mathrm{C/m}. O conteúdo aqui é potencial devido a uma linha de carga (eixo z) e usaremos a relação entre campo elétrico radial e diferença de potencial.

Passo 2

O campo elétrico produzido por uma linha de carga infinita é radial e vale
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}\,,
para r>0. A diferença de potencial entre r_1 e r_2 é
V(r_2)-V(r_1)=-\int_{r_1}^{r_2}E(r)\,\mathrm{d}r =-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r}\,\mathrm{d}r\,.

Passo 3

Calculando a integral logarítmica,
V(r_2)-V(r_1) =-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\bigl[\ln r\bigr]_{r_1}^{r_2} =-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{r_2}{r_1} =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{r_1}{r_2}\,.
Tomamos a diferença no sentido V(r_1)-V(r_2) para obter valor positivo:
\Delta V=V(r_1)-V(r_2) =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{r_2}{r_1}\,.

Passo 4

Substituindo \lambda=4\times10^{-6}\,\mathrm{C/m}, \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, r_1=0,3 m e r_2=0,7 m:
\Delta V =\frac{4\times10^{-6}}{2\pi\,(8{,}854\times10^{-12})}\ln\!\biggl(\frac{0,7}{0,3}\biggr) \approx6{,}1\times10^{4}\,\mathrm{V}\,.

Resposta

A diferença de potencial entre os pontos a 0,3 m e 0,7 m é aproximadamente
\Delta V=6{,}1\times10^{4}\,\mathrm{V}\,.

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