Um condutor plano tem uma densidade de carga superficial \sigma=8 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} no plano z=0. Calcule o campo elétrico vetorial em ( 0,0,0.5 \mathrm{~m} ) usando integrais de superfície.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por uma lâmina infinita de carga superficial uniforme \sigma=8\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2}, situada no plano z=0, no ponto (0,0,0{,}5\,\mathrm{m}). O conteúdo é o cálculo de campo elétrico via integrais de superfície, usando a lei de Coulomb diferencial.

Passo 2

Escolhemos um elemento de área na lâmina em coordenadas polares (r,\varphi) no plano z=0:
\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi,
com densidade de carga \sigma, gerando um elemento de carga
\mathrm{d}q = \sigma\,\mathrm{d}A = \sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
A distância do elemento ao ponto de observação é
R = \sqrt{r^2 + z^2},
onde z=0{,}5\,\mathrm{m}.

Passo 3

O campo diferencial em \vec{R} é dado por
\mathrm{d}\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{R^2}\,\hat{R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi}{\bigl(r^2+z^2\bigr)}\, \hat{R}.
Decompomos \hat{R} em componente radial (que se anula ao integrar \varphi) e componente z:
\mathrm{d}E_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi}{(r^2+z^2)}\, \frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}} = \frac{\sigma\,z}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi}{(r^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

Integramos \varphi de 0 a 2\pi e r de 0 a \infty:
E_z = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\infty} \frac{\sigma\,z}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\sigma\,z}{4\pi\varepsilon_0}\,2\pi \int_{0}^{\infty}\frac{r\,\mathrm{d}r}{(r^2+z^2)^{3/2}}.
Fazendo u = r^2+z^2, \mathrm{d}u = 2r\,\mathrm{d}r, obtemos
\int_{0}^{\infty}\frac{r\,\mathrm{d}r}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \int_{u=z^2}^{\infty}\frac{\mathrm{d}u}{2\,u^{3/2}} = \left[-\frac{1}{u^{1/2}}\right]_{z^2}^{\infty} = \frac{1}{z}.
Logo,
E_z = \frac{\sigma\,z}{4\pi\varepsilon_0}\,2\pi\;\frac{1}{z} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

Passo 5

Substituindo \sigma=8\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2} e \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)},
E_z = \frac{8\times10^{-6}}{2\,(8{,}854\times10^{-12})} \approx 4{,}52\times10^{5}\,\mathrm{N/C}.
Como a carga é positiva, o campo aponta para +z.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(0,0,0{,}5\,\mathrm{m}) = 4{,}52\times10^{5}\,\hat{z}\\ \mathrm{N/C}.

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