Determine o diferencial total para as funções abaixo:
z=arctg yx-arctg xy

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos
z = arctan!l(yxr);-;arctan!l(xyr)
e queremos o diferencial total dz. Vamos usar a regra da cadeia e que
ddtl[arctan(t)r] = 11+t^2

Passo 2

Calculemos dl[arctan(y/x)r]. Defina u = y/x. Então
du = x,dy - y,dxx^2,
e
dl[arctan(u)r] = du1+u^2 = x,dy - y,dxx^21 + y^2x^2 = x,dy - y,dxx^2 + y^2

Passo 3

Agora dl[arctan(x/y)r]. Defina v = x/y. Então
dv = y,dx - x,dyy^2,
e
dl[arctan(v)r] = dv1+v^2 = y,dx - x,dyy^21 + x^2y^2 = y,dx - x,dyx^2 + y^2

Passo 4

Finalmente, subtraímos as duas diferenciais:
dz = dl[arctan(y/x)r] - dl[arctan(x/y)r] = x,dy - y,dxx^2+y^2 - y,dx - x,dyx^2+y^2 = 2,(x,dy - y,dx)x^2+y^2

Resposta

boxeddz = 2,l(x,dy - y,dxr)x^2 + y^2

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