Determine a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais a seguir:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o conjunto
:
- Determinar a dimensão de
. - Encontrar uma base de
.
Informações dadas:
-
é um subconjunto de definido pela equação linear homogênea . - Essa equação impõe uma restrição entre as coordenadas
e ; aparece livre.
Passo 2
Entender o que significa parametrizar o conjunto: a equação
nos permite escrever uma coordenada em função das outras. Isso transforma a descrição implícita em uma forma que mostra como todo vetor de
é gerado por combinações de vetores fixos.
Da equação
segue que
Escolhemos as coordenadas livres
e
como parâmetros. Denotando
e
, com
, um vetor arbitrário de
é
Passo 3
Escrever
como combinação linear de vetores fixos. Separe os parâmetros:
Isto mostra que qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear de
e
.
Passo 4
Definição útil: o span (espaço gerado) de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Pelo passo anterior temos
Ou seja, esses dois vetores geram
.
Passo 5
Agora verificar que os dois vetores geradores são linearmente independentes — isso garante que eles formam uma base.
Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo por componentes:
Dessa igualdade obtemos as equações
,
e
. Assim
e
são as únicas soluções, logo os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como
e
geram
e são linearmente independentes, eles formam uma base de
.
Definição de dimensão: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base. Aqui a base tem
vetores, logo a dimensão é
.