Determine a dimensão e uma base para cada um dos espaços vetoriais a seguir:
A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o conjunto
\displaystyle A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \; ;\; x+y=0\}:
  • Determinar a dimensão de A.
  • Encontrar uma base de A.
Informações dadas:
  • A é um subconjunto de \mathbb{R}^3 definido pela equação linear homogênea x+y=0.
  • Essa equação impõe uma restrição entre as coordenadas x e y; z aparece livre.

Passo 2

Entender o que significa parametrizar o conjunto: a equação x+y=0 nos permite escrever uma coordenada em função das outras. Isso transforma a descrição implícita em uma forma que mostra como todo vetor de A é gerado por combinações de vetores fixos.
Da equação x+y=0 segue que
x=-y.
Escolhemos as coordenadas livres y e z como parâmetros. Denotando y=t e z=s, com t,s\in\mathbb{R}, um vetor arbitrário de A é
(x,y,z)=(-t,t,s).

Passo 3

Escrever (-t,t,s) como combinação linear de vetores fixos. Separe os parâmetros:
(-t,t,s)=t\cdot(-1,1,0)+s\cdot(0,0,1).
Isto mostra que qualquer vetor de A pode ser escrito como combinação linear de (-1,1,0) e (0,0,1).

Passo 4

Definição útil: o span (espaço gerado) de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Pelo passo anterior temos
A=\operatorname{span}\{(-1,1,0),(0,0,1)\}.
Ou seja, esses dois vetores geram A.

Passo 5

Agora verificar que os dois vetores geradores são linearmente independentes — isso garante que eles formam uma base.
Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a(-1,1,0)+b(0,0,1)=(0,0,0).
Escrevendo por componentes:
(-a,\;a,\;b)=(0,0,0).
Dessa igualdade obtemos as equações -a=0, a=0 e b=0. Assim a=0 e b=0 são as únicas soluções, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como (-1,1,0) e (0,0,1) geram A e são linearmente independentes, eles formam uma base de A.
Definição de dimensão: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base. Aqui a base tem 2 vetores, logo a dimensão é 2.

Resposta

\dim(A)=2
\text{Base: }\{(-1,1,0),(0,0,1)\}

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