Exemplo 11: Seja a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x-y+z, x+y+z). Determine o núcleo da transformação.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z) = (x-y+z,\; x+y+z).
A pergunta é: determinar o núcleo (kernel) de T, ou seja, todos os vetores (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que são levados ao vetor nulo em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Definição útil e objetivo prático: o núcleo de T é o conjunto
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Isso significa que preciso solucionar as equações dadas por igualar cada componente de T(x,y,z) a zero. Resolver esse sistema dará todos os vetores que vão para zero.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a condição T(x,y,z)=(0,0)\) obtemos o sistema de duas equações lineares em três incógnitas: \[\begin{cases} x - y + z = 0,\\[4pt] x + y + z = 0. \end{cases}
Aqui as incógnitas são x\], \(y e z. Vou manipular essas equações para encontrar relações entre x,y,z.]

Passo 4

Para eliminar uma incógnita, subtraio a primeira equação da segunda:
(x+y+z) - (x-y+z) = 0 - 0 \quad\Rightarrow\quad 2y = 0.
Logo
y = 0.

Passo 5

Com y=0, volto a qualquer uma das equações iniciais (por exemplo a primeira):
x - 0 + z = 0 \quad\Rightarrow\quad x + z = 0.
Logo
x = -z.
Isso mostra que z é livre (pode ser qualquer número real) e que x fica determinado por z, enquanto y é sempre zero.

Passo 6

Parametrizo usando um parâmetro t\in\mathbb{R} para z: seja z=t. Então
x = -t,\qquad y=0,\qquad z=t.
Portanto um vetor genérico do núcleo pode ser escrito como
(x,y,z) = (-t,\,0,\,t) = t(-1,\,0,\,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Como vérificação rápida, aplicando T ao vetor (-1,0,1) temos
T(-1,0,1)=((-1)-0+1,\;(-1)+0+1)=(0,0),
confirmando que (-1,0,1) pertence ao núcleo.

Passo 7

Interpretação linear: todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares de (-1,0,1). Logo o núcleo é uma reta (subespaço unidimensional) através da origem em \mathbb{R}^3; uma base natural do núcleo é \{(-1,0,1)\} e a dimensão do núcleo é 1.

Resposta

\ker(T)=\operatorname{span}\{(-1,0,1)\}

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