Exemplo 11: Seja a transformação linear
. Determine o núcleo da transformação.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
A pergunta é: determinar o núcleo (kernel) de
, ou seja, todos os vetores
que são levados ao vetor nulo em
.
Passo 2
Definição útil e objetivo prático: o núcleo de
é o conjunto
Isso significa que preciso solucionar as equações dadas por igualar cada componente de
a zero. Resolver esse sistema dará todos os vetores que vão para zero.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a condição
Aqui as incógnitas são
e
. Vou manipular essas equações para encontrar relações entre
.]
Passo 4
Para eliminar uma incógnita, subtraio a primeira equação da segunda:
Logo
Passo 5
Com
, volto a qualquer uma das equações iniciais (por exemplo a primeira):
Logo
Isso mostra que
é livre (pode ser qualquer número real) e que
fica determinado por
, enquanto
é sempre zero.
Passo 6
Parametrizo usando um parâmetro
para
: seja
. Então
Portanto um vetor genérico do núcleo pode ser escrito como
Como vérificação rápida, aplicando
ao vetor
temos
confirmando que
pertence ao núcleo.
Passo 7
Interpretação linear: todos os vetores do núcleo são múltiplos escalares de
. Logo o núcleo é uma reta (subespaço unidimensional) através da origem em
; uma base natural do núcleo é
e a dimensão do núcleo é
.