Encontre uma base em \mathbb{R}^{4} para o conjunto S=\left\{(x, y, z, t) \in R^{4} ; x=3 t, y=-2 t, z=t\right\} e determine a dimensão de S.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar uma base em \mathbb{R}^{4} para o conjunto S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4};\; x=3t,\; y=-2t,\; z=t\}.
  • Determinar a dimensão de S.
Informações dadas pelo enunciado:
  • As coordenadas de um vetor em S obedecem as relações x=3t, y=-2t, z=t, com t\in\mathbb{R} livre.
  • Não há outras restrições; o quarto componente é exatamente t (o mesmo parâmetro usado nas relações).

Passo 2

Vamos escrever um vetor genérico de S em função do parâmetro t. Pegando as coordenadas dadas, um vetor qualquer de S é
( x,y,z,t ) = (3t,\;-2t,\;t,\;t).
Agora fatoramos t em comum:
(3t,\;-2t,\;t,\;t)=t\,(3,\,-2,\;1,\;1).

Passo 3

Da fatoração obtemos uma descrição simples de S:
S=\{\,t\,(3,-2,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\,\}.
Isto significa que todo vetor em S é um múltiplo escalar do vetor
v=(3,-2,1,1).
Em linguagem de álgebra linear, S é o subespaço gerado por v, isto é,
S=\operatorname{span}\{v\}.

Passo 4

Para que \{v\} seja uma base de S precisamos de duas propriedades: (i) \{v\} gera S e (ii) \{v\} é linearmente independente.
Já mostramos (i): todo vetor de S é um múltiplo escalar de v, logo \operatorname{span}\{v\}=S.
Agora verificamos (ii). Um conjunto formado por um único vetor v é linearmente independente se, e somente se, v\neq(0,0,0,0). Nosso vetor é v=(3,-2,1,1), que claramente não é o vetor nulo, pois tem entradas não nulas. Formalmente, se a\in\mathbb{R} e a v=(0,0,0,0), então olhando a primeira componente obtemos a\cdot 3=0 e portanto a=0. Logo \{v\} é linearmente independente.

Passo 5

Como \{v\} gera S e é linearmente independente, concluímos que \{v\}=\{(3,-2,1,1)\} é uma base de S.
Observação útil: qualquer outro vetor não nulo colinear com v também pode ser usado como base (por exemplo \{2(3,-2,1,1)\} ou \{(-3,2,-1,-1)\}), pois bases podem ser alteradas por multiplicação por escalar não nulo.

Passo 6

A dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base do subespaço. Como encontramos uma base com exatamente um vetor, temos
\dim(S)=1.
Interpretação geométrica rápida: S é uma reta (um subespaço unidimensional) passando pela origem em \mathbb{R}^{4}.

Resposta

\text{Base: }\{\,(3,-2,1,1)\,\}
\dim(S)=1

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