Encontre uma base em
para o conjunto
e determine a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar uma base em
para o conjunto . - Determinar a dimensão de
.
Informações dadas pelo enunciado:
- As coordenadas de um vetor em
obedecem as relações , , , com livre. - Não há outras restrições; o quarto componente é exatamente
(o mesmo parâmetro usado nas relações).
Passo 2
Vamos escrever um vetor genérico de
em função do parâmetro
. Pegando as coordenadas dadas, um vetor qualquer de
é
Agora fatoramos
em comum:
Passo 3
Da fatoração obtemos uma descrição simples de
:
Isto significa que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
Em linguagem de álgebra linear,
é o subespaço gerado por
, isto é,
Passo 4
Para que
seja uma base de
precisamos de duas propriedades: (i)
gera
e (ii)
é linearmente independente.
Já mostramos (i): todo vetor de
é um múltiplo escalar de
, logo
.
Agora verificamos (ii). Um conjunto formado por um único vetor
é linearmente independente se, e somente se,
. Nosso vetor é
, que claramente não é o vetor nulo, pois tem entradas não nulas. Formalmente, se
e
, então olhando a primeira componente obtemos
e portanto
. Logo
é linearmente independente.
Passo 5
Como
gera
e é linearmente independente, concluímos que
é uma base de
.
Observação útil: qualquer outro vetor não nulo colinear com
também pode ser usado como base (por exemplo
ou
), pois bases podem ser alteradas por multiplicação por escalar não nulo.
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base do subespaço. Como encontramos uma base com exatamente um vetor, temos
Interpretação geométrica rápida:
é uma reta (um subespaço unidimensional) passando pela origem em
.