Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de 
  : 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a dimensão e uma base para um subespaço vetorial de matrizes 
 . O subespaço é formado por todas as matrizes 
  que satisfazem a condição 
 . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, dimensão e base, para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa condição 
 . Ela relaciona os elementos da matriz, e nossa ideia é expressar alguns desses elementos em função dos outros para simplificar a descrição do subespaço.
Passo 3
Vamos reescrever a condição para isolar uma das variáveis. Vamos escolher 
 :
Isso significa que, se conhecermos 
 , 
  e 
 , podemos determinar 
 . Então, qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:
Passo 4
Agora, vamos expressar essa matriz em termos de combinações lineares de matrizes básicas. Podemos separar os termos que dependem de 
 , 
  e 
 :
Passo 5
As matrizes que aparecem na combinação linear acima vão formar a nossa base. Vamos verificar se são linearmente independentes. Olhando para elas:
Nenhuma dessas matrizes pode ser escrita como combinação linear das outras, então elas são linearmente independentes.
Passo 6
Como encontramos 3 matrizes linearmente independentes que geram o subespaço, a dimensão desse subespaço é 3.
Resposta
A dimensão do subespaço é 3 e uma base para ele é formada pelas matrizes: