Determine as dimensões de \operatorname{Lin}(A), \operatorname{Col}(A), N(A) e N\left(A^{t}\right) sendo A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 2 & -1 \\\\ 2 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 1 & -3 & -1\end{array}\right). (vale 2,0)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as dimensões de \operatorname{Lin}(A), \operatorname{Col}(A), N(A) e N\left(A^{t}\right) para a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & -2 & 5 & 0\\[4pt] -1 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
\;A é uma matriz de tamanho 3\times4 (3 linhas e 4 colunas).
As quantidades pedidas são dimensões de espaços associados a A:
  • \operatorname{Lin}(A): espaço gerado pelas linhas de A (dimensão do espaço linha);
  • \operatorname{Col}(A): espaço gerado pelas colunas de A (dimensão do espaço coluna);
  • N(A): núcleo (vetores x tais que Ax=0);
  • N(A^{t}): núcleo da transposta (vetores y tais que A^{t}y=0, também chamado de espaço nulo à esquerda).
    Nenhuma outra informação é necessária; vamos começar a resolver.]

Passo 2

Primeiro queremos encontrar o posto (rank) de A. O posto é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes e determina as dimensões de \operatorname{Lin}(A) e \operatorname{Col}(A). Para achar o posto, aplicamos eliminação de Gauss (redução por linhas) e contamos as linhas não nulas na forma escalonada.
Começamos com A:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & -2 & 5 & 0\\[4pt] -1 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
Usamos operações elementares por linhas:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2 = (2,-2,5,0) - 2(1,-1,2,-1) = (0,0,1,2).
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1:
R_3 = (-1,1,-3,-1) + (1,-1,2,-1) = (0,0,-1,-2).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Em seguida R_3 \leftarrow R_3 + R_2 R_3=(0,0,0,0). Assim obtemos a forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Contamos as linhas não nulas: são 2. Portanto o posto de A é
\operatorname{rank}(A)=2.
Explicação didática rápida: o posto é o número de pivôs (colunas com primeira entrada não nula após escalonamento). Aqui temos pivôs nas colunas 1 e 3 (pela forma mostrada), logo duas direções independentes.]

Passo 3

Com o posto em mãos, tiramos consequências imediatas:
  • A dimensão do espaço coluna \operatorname{Col}(A) é igual ao posto:
\dim \operatorname{Col}(A)=\operatorname{rank}(A)=2.
  • A dimensão do espaço linha \operatorname{Lin}(A) (espaço gerado pelas linhas de A) também é igual ao posto:
\dim \operatorname{Lin}(A)=\operatorname{rank}(A)=2.
Aqui uma breve lembrança didática: tanto o espaço coluna quanto o espaço linha têm dimensão igual ao posto da matriz; isto é um fato padrão (o posto por linhas = posto por colunas).

Passo 4

Agora vamos achar a dimensão de N(A)\) (núcleo de \(A\)). Usamos o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity): para uma matriz \(A\) de tamanho \(m\times n\), \[\operatorname{rank}(A) + \dim N(A) = n,
onde n é o número de colunas. No nosso caso n=4 e \operatorname{rank}(A)=2, então
\dim N(A) = 4 - 2 = 2.
Para deixar bem concreto (e aprender a resolver na prova), vamos resolver explicitamente Ax=0 usando a forma escalonada que encontramos. Escrevendo as equações correspondentes:
a partir de
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
temos as equações
\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 - x_4 = 0,\\[4pt] x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos x_3 = -2x_4\]. Tomamos \(x_2 e x_4 como variáveis livres (parâmetros). Então
x_1 = x_2 + 5x_4.
Logo a solução geral é
x = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Isso mostra explicitamente duas direções independentes no núcleo, confirmando
\dim N(A)=2.
Dica prática para prova: depois de escalonar, identifique pivôs e variáveis livres; o número de variáveis livres é exatamente a nulidade.]

Passo 5

Finalmente, para \dim N(A^{t}) (núcleo da transposta), usamos dois fatos úteis:
  1. \operatorname{rank}(A^{t}) = \operatorname{rank}(A) (posto é o mesmo para A e A^{t}).
  2. Para A^{t} (que é 4\times3), vale o teorema posto-nulidade:
\operatorname{rank}(A^{t}) + \dim N(A^{t}) = \text{(nº de colunas de }A^{t}) = 3.º
Como \operatorname{rank}(A^{t})=\operatorname{rank}(A)=2, obtemos
\dim N(A^{t}) = 3 - 2 = 1.
Para fixar bem a intuição: N(A^{t}) é o espaço ortogonal ao espaço coluna de A (o complemento ortogonal à esquerda). Como a coluna de A tem dimensão 2 em \mathbb{R}^3, seu ortogonal tem dimensão 1.
Se quiser ver um vetor não-nulo em N(A^{t}) (útil na prova para mostrar existência), podemos tomar o produto vetorial de duas colunas independentes de A. Por exemplo as colunas \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ -3\end{pmatrix} têm produto vetorial (-1,1,1), e de fato
(-1,1,1)^{t}A = 0,
mostrando que N(A^{t}) é gerado por (-1,1,1)^{t} e tem dimensão 1.

Resposta

\dim \operatorname{Lin}(A)=2
\dim \operatorname{Col}(A)=2
\dim N(A)=2
\dim N(A^{t})=1

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