Informações relevantes dadas: \;A é uma matriz de tamanho 3\times4 (3 linhas e 4 colunas).
As quantidades pedidas são dimensões de espaços associados a A:
\operatorname{Lin}(A): espaço gerado pelas linhas de A (dimensão do espaço linha);
\operatorname{Col}(A): espaço gerado pelas colunas de A (dimensão do espaço coluna);
N(A): núcleo (vetores x tais que Ax=0);
N(A^{t}): núcleo da transposta (vetores y tais que A^{t}y=0, também chamado de espaço nulo à esquerda).
Nenhuma outra informação é necessária; vamos começar a resolver.]
Passo 2
Primeiro queremos encontrar o posto (rank) de A. O posto é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes e determina as dimensões de \operatorname{Lin}(A) e \operatorname{Col}(A). Para achar o posto, aplicamos eliminação de Gauss (redução por linhas) e contamos as linhas não nulas na forma escalonada.
Contamos as linhas não nulas: são 2. Portanto o posto de A é
\operatorname{rank}(A)=2.
Explicação didática rápida: o posto é o número de pivôs (colunas com primeira entrada não nula após escalonamento). Aqui temos pivôs nas colunas 1 e 3 (pela forma mostrada), logo duas direções independentes.]
Passo 3
Com o posto em mãos, tiramos consequências imediatas:
A dimensão do espaço coluna \operatorname{Col}(A) é igual ao posto:
Aqui uma breve lembrança didática: tanto o espaço coluna quanto o espaço linha têm dimensão igual ao posto da matriz; isto é um fato padrão (o posto por linhas = posto por colunas).
Passo 4
Agora vamos achar a dimensão de N(A)\) (núcleo de \(A\)). Usamos o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity): para uma matriz \(A\) de tamanho \(m\times n\),
\[\operatorname{rank}(A) + \dim N(A) = n,
onde n é o número de colunas. No nosso caso n=4 e \operatorname{rank}(A)=2, então
\dim N(A) = 4 - 2 = 2.
Para deixar bem concreto (e aprender a resolver na prova), vamos resolver explicitamente Ax=0 usando a forma escalonada que encontramos. Escrevendo as equações correspondentes:
a partir de
Isso mostra explicitamente duas direções independentes no núcleo, confirmando
\dim N(A)=2.
Dica prática para prova: depois de escalonar, identifique pivôs e variáveis livres; o número de variáveis livres é exatamente a nulidade.]
Passo 5
Finalmente, para \dim N(A^{t}) (núcleo da transposta), usamos dois fatos úteis:
\operatorname{rank}(A^{t}) = \operatorname{rank}(A) (posto é o mesmo para A e A^{t}).
Para A^{t} (que é 4\times3), vale o teorema posto-nulidade:
\operatorname{rank}(A^{t}) + \dim N(A^{t}) = \text{(nº de colunas de }A^{t}) = 3.º
Como \operatorname{rank}(A^{t})=\operatorname{rank}(A)=2, obtemos
\dim N(A^{t}) = 3 - 2 = 1.
Para fixar bem a intuição: N(A^{t}) é o espaço ortogonal ao espaço coluna de A (o complemento ortogonal à esquerda). Como a coluna de A tem dimensão 2 em \mathbb{R}^3, seu ortogonal tem dimensão 1.
Se quiser ver um vetor não-nulo em N(A^{t}) (útil na prova para mostrar existência), podemos tomar o produto vetorial de duas colunas independentes de A. Por exemplo as colunas \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}2\\\ 5\\\ -3\end{pmatrix} têm produto vetorial (-1,1,1), e de fato
(-1,1,1)^{t}A = 0,
mostrando que N(A^{t}) é gerado por (-1,1,1)^{t} e tem dimensão 1.