Encontre uma base para o subespaço S=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} ; x_{1}=x_{2}\right. e \left.x_{3}-x_{4}=x_{1}\right\} de \mathbb{R}^{4}. (vale 2,0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do subespaço S\subset\mathbb{R}^{4} definido por duas igualdades lineares sobre as componentes de um vetor x. As informações dadas são:
x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4},
com as restrições
x_{1}=x_{2}
e
x_{3}-x_{4}=x_{1}.
As perguntas implícitas são: descrever todos os vetores x que satisfazem essas duas equações e produzir um conjunto de vetores que forme uma base de S.

Passo 2

Estratégia (a técnica que vamos aplicar): parametrizar o conjunto solução das equações, ou seja, escrever as componentes dependentes em função de algumas variáveis livres (parâmetros). Depois que tivermos a parametrização, identificamos vetores que geram todos os elementos de S (geradores) e verificamos que esses vetores são linearmente independentes — assim teremos uma base. Vou fazer isso passo a passo, explicando cada conta.

Passo 3

Usamos as equações para expressar algumas componentes em termos de outras. Da primeira igualdade temos
x_{2}=x_{1}.
Da segunda igualdade temos
x_{3}-x_{4}=x_{1}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=x_{1}+x_{4}.
Agora escolhemos parâmetros livres. É natural escolher como parâmetros s:=x_{1} e t:=x_{4}. Assim cada vetor x\in S pode ser escrito com esses parâmetros:
x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(s,\;s,\;s+t,\;t).

Passo 4

Escrevemos x como combinação linear dos vetores que aparecem multiplicando s e t. Separando os termos em s e t,
x = s\,(1,1,1,0) + t\,(0,0,1,1).
Isto mostra imediatamente que todo vetor de S está no subespaço gerado pelos vetores (1,1,1,0) e (0,0,1,1). Ou seja, esses dois vetores geram S.

Passo 5

Agora verificamos que esses geradores são linearmente independentes. Se existirem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(1,1,1,0)+\beta(0,0,1,1)=(0,0,0,0),
então analisamos coordenada a coordenada:
primeira coordenada: \alpha=0.
segunda coordenada: \alpha=0 (confirma).
terceira coordenada: \alpha+\beta=0. Como \alpha=0, segue \beta=0.
quarta coordenada: \beta=0 (confirma).
Portanto \alpha=\beta=0 é a única solução, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Concluímos que os vetores (1,1,1,0) e (0,0,1,1) geram S e são linearmente independentes, portanto formam uma base de S. Como há dois vetores na base, a dimensão de S é 2. Vai dar certo na prova: ao ver restrições lineares você sempre tenta parametrizar e extrair os geradores.

Resposta

(1,1,1,0)
(0,0,1,1)

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