Encontre uma base para o subespaço
e
de
. (vale 2,0)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base do subespaço
definido por duas igualdades lineares sobre as componentes de um vetor
. As informações dadas são:
com as restrições
e
As perguntas implícitas são: descrever todos os vetores
que satisfazem essas duas equações e produzir um conjunto de vetores que forme uma base de
.
Passo 2
Estratégia (a técnica que vamos aplicar): parametrizar o conjunto solução das equações, ou seja, escrever as componentes dependentes em função de algumas variáveis livres (parâmetros). Depois que tivermos a parametrização, identificamos vetores que geram todos os elementos de
(geradores) e verificamos que esses vetores são linearmente independentes — assim teremos uma base. Vou fazer isso passo a passo, explicando cada conta.
Passo 3
Usamos as equações para expressar algumas componentes em termos de outras. Da primeira igualdade temos
Da segunda igualdade temos
Agora escolhemos parâmetros livres. É natural escolher como parâmetros
e
. Assim cada vetor
pode ser escrito com esses parâmetros:
Passo 4
Escrevemos
como combinação linear dos vetores que aparecem multiplicando
e
. Separando os termos em
e
,
Isto mostra imediatamente que todo vetor de
está no subespaço gerado pelos vetores
e
. Ou seja, esses dois vetores geram
.
Passo 5
Agora verificamos que esses geradores são linearmente independentes. Se existirem escalares
tais que
então analisamos coordenada a coordenada:
primeira coordenada: .
segunda coordenada: (confirma).
terceira coordenada: . Como
, segue
.
quarta coordenada: (confirma).
Portanto é a única solução, logo os vetores são linearmente independentes.
primeira coordenada:
segunda coordenada:
terceira coordenada:
quarta coordenada:
Portanto
Passo 6
Concluímos que os vetores
e
geram
e são linearmente independentes, portanto formam uma base de
. Como há dois vetores na base, a dimensão de
é
. Vai dar certo na prova: ao ver restrições lineares você sempre tenta parametrizar e extrair os geradores.