Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3 \\\\ -1 & -2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right).
a) Encontre uma base para N(B). (vale 1,0)
b) Encontre uma base para \operatorname{Col}(A)+N(B) .( vale 1,5 )
(a) Encontrar uma base para N(B), ou seja, o núcleo (espaço solução) da equação B x = 0, com x\in\mathbb{R}^3.
(b) Encontrar uma base para \operatorname{Col}(A) + N(B), isto é, para a soma do espaço coluna de A (subespaço gerado pelas colunas de A) com o núcleo de B.
As informações relevantes: as entradas das matrizes A e B acima. Não há outras hipóteses ocultas. Vou primeiro achar N(B) resolvendo B x=0, e depois usar essa base junto com as colunas de A para obter \operatorname{Col}(A)+N(B).]
Passo 2
Vamos achar N(B)\). Escrevo \(x=(x_1,x_2,x_3)^T\) e imponho \(B x=0\). Isso gera o sistema linear (cada linha de \(B\) vezes \(x\) igual a zero):
\[\begin{cases} - x_1 + x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] \; x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 = 0. \end{cases}
Explico: cada equação vem do produto escalar da linha correspondente de B\] com o vetor \(x.]
Passo 3
Resolvendo o sistema passo a passo. Da segunda equação temos
Temos x_1 = -x_3, x_2 = -2x_3, e x_3 livre. Coloco x_3=t como parâmetro:
x = \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso mostra que o núcleo é uma reta (dimensão 1) gerada pelo vetor \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}. Portanto uma base natural para N(B) é esse vetor.]
Passo 4
Agora quero \operatorname{Col}(A)+N(B). Por definição,
\operatorname{Col}(A)+N(B)=\operatorname{span}\{\text{colunas de }A\}\;+\;\operatorname{span}\{v\} =\operatorname{span}\{c_1,c_2,v\},
Concluímos que a soma é o subespaço gerado por \{c_1,c_2,v\}. Para obter uma base eficiente, precisamos retirar vetores linearmente dependentes entre esses três.]
Passo 5
Para verificar dependências, monto a matriz cujas colunas são c_1,c_2,v:
Interpretação: os pivôs aparecem nas colunas 1 e 2; a coluna 3 é combinação linear das anteriores. A entrada -1 na primeira linha, terceira coluna indica
Como v=-c_1, temos N(B)\subseteq \operatorname{Col}(A). Portanto
\operatorname{Col}(A)+N(B)=\operatorname{Col}(A).
Logo uma base para a soma é simplesmente uma base para \operatorname{Col}(A). As colunas c_1 e c_2 são independentes (vimos pivôs nas colunas 1 e 2), então \{c_1,c_2\} é uma base de \operatorname{Col}(A).