Determine, diretamente, a forma expandida do produtos notável abaixo:
(x+7)(x-7)

Passo 1

O enunciado dá o produto dos binômios (x+7)(x-7) e pede para determinar, diretamente, a forma expandida desse produto.
Informações fornecidas:
  • A expressão a expandir é (x+7)(x-7).

Passo 2

Vou usar a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (às vezes chamada de FOIL quando aplicada a binômios). A fórmula geral é:
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Aqui cada letra representa um termo: a,b,c,d são termos quaisquer; ao multiplicar dois somandos por dois somandos, multiplica-se cada termo do primeiro par por cada termo do segundo par.

Passo 3

Identifico os termos do nosso caso comparando com a fórmula:
a = x,\quad b = 7,\quad c = x,\quad d = -7.
Note que o segundo binómio (x-7) tem d=-7.

Passo 4

Calculo o primeiro produto ac:
ac = x\cdot x = x^2.
Explicação: multiplicar uma variável por ela mesma gera o quadrado dessa variável.

Passo 5

Calculo o segundo produto ad:
ad = x\cdot(-7) = -7x.
Explicação: multiplicar x por -7 produz o termo linear -7x.

Passo 6

Calculo o terceiro produto bc:
bc = 7\cdot x = 7x.
Explicação: multiplicar a constante 7 por x 7x. Repare que ad e bc são termos semelhantes (ambos em x) e podem se cancelar.

Passo 7

Calculo o quarto produto bd:
bd = 7\cdot(-7) = -49.
Explicação: produto de constantes.

Passo 8

Somando todos os termos obtidos pela distributiva, tenho:
x^2 + (-7x) + 7x + (-49).
Escrevendo de forma mais habitual:
x^2 -7x +7x -49.

Passo 9

Agora simplifico termos semelhantes. Os dois termos em x são -7x e +7x; somando-os:
-7x + 7x = 0.
Portanto o termo em x cancela, restando somente o termo quadrático e a constante: o quadrado de x e -49.

Passo 10

Uma observação útil (padrão): ao multiplicar binômios conjugados (a+b)(a-b) obtém-se a diferença de quadrados
(a+b)(a-b)=a^2-b^2.
Aplicando isso com a=x e b=7 confirma o resultado que aparece na simplificação acima.

Resposta

x^2-49

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