Marque as expressões abaixo que equivalem ao quociente
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para marcar as expressões que são equivalentes ao quociente
Informações dadas:
- A expressão alvo é
. - Devemos verificar, para cada alternativa (a) a (h), se a expressão indicada é igual à expressão alvo para todos os valores possíveis (com
, , pois aparecem no denominador).
Passo 2
Estratégia e regras que vou usar (explicando devagar como numa prova):
- Multiplicação de frações:
. Isso significa que, ao multiplicar fatores fracionários, multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador. - Reagrupamento (comutatividade/associatividade): num produto como
pode-se rearranjar os fatores sem alterar o resultado; isto permite escrever produtos na ordem que facilite ver a igualdade. - Cancelamento: se aparecer um mesmo fator no numerador e no denominador, pode-se simplificá-lo (por exemplo
, desde que ). - Para provar que duas expressões NÃO são equivalentes para todo
, basta dar um contraexemplo numérico (valores específicos) que produza resultados diferentes. - Vou simplificar cada alternativa até uma forma canônica (por exemplo
) e comparar com a expressão alvo.
Passo 3
Análise da alternativa (a):
Usando regra de multiplicação de frações:
Conclusão: (a) é equivalente à expressão alvo.
Passo 4
Análise da alternativa (b):
Compare numeradores: a expressão alvo tem numerador
, enquanto (b) tem numerador
. Para as duas serem iguais para todo
precisaríamos ter
identicamente, o que NÃO é verdade. Para ver com um contraexemplo numérico, escolha
,
,
:
- Expressão alvo:
- Alternativa (b):
São diferentes, logo (b) não é equivalente.
Passo 5
Análise da alternativa (c):
Reescrevendo o produto:
Conclusão: (c) é equivalente à expressão alvo.
Passo 6
Análise da alternativa (d):
Reagrupar fatores (comutatividade):
(Usei
e depois multiplica-se por
.)
Conclusão: (d) é equivalente à expressão alvo.
Conclusão: (d) é equivalente à expressão alvo.
Passo 7
Análise da alternativa (e):
Simplificar o primeiro termo:
. A alternativa fica
. Isto é uma diferença entre duas frações; a expressão alvo é UMA única fração
. Para ver que não são iguais para todo
, usar um contraexemplo: escolha
,
,
:
- Expressão alvo:
- Alternativa (e):
Diferentes, logo (e) não é equivalente.
Passo 8
Análise da alternativa (f):
Multiplicando as frações:
Conclusão: (f) é equivalente à expressão alvo.
Passo 9
Análise da alternativa (g):
Isto é
Compare com a expressão alvo
: a alternativa (g) é
vezes
, enquanto a alvo é
aquilo; claramente não são iguais em geral. Contraexemplo:
dá
para a alvo e
para (g). Logo (g) não é equivalente.
Passo 10
Análise da alternativa (h):
Reorganizando e multiplicando os fatores:
Conclusão: (h) é equivalente à expressão alvo.
Resposta
(a)
(c)
(d)
(f)
(h)
(c)
(d)
(f)
(h)