Marque as expressões abaixo que equivalem ao quociente
\frac{(x-1) z}{15 x y}:
(a) \frac{z}{15} \cdot \frac{x-1}{x y}
(b) \frac{z-5}{15 y}
(c) z(x-1) \cdot \frac{1}{15 x y}
(d) \frac{1}{y} \cdot(x-1) \cdot \frac{z}{15 x}
(e) \frac{5 z}{15 x}-\frac{x z}{y}
(f) \frac{1}{y} \cdot \frac{x-1}{15} \cdot \frac{z}{x}
(g) 15 \cdot \frac{z(x-1)}{x y}
(h) z \cdot(x-1) \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para marcar as expressões que são equivalentes ao quociente
\frac{(x-1) z}{15 x y}.
Informações dadas:
  • A expressão alvo é \dfrac{(x-1) z}{15 x y}.
  • Devemos verificar, para cada alternativa (a) a (h), se a expressão indicada é igual à expressão alvo para todos os valores possíveis (com x\neq0, y\neq0, pois aparecem no denominador).

Passo 2

Estratégia e regras que vou usar (explicando devagar como numa prova):
  • Multiplicação de frações: \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}. Isso significa que, ao multiplicar fatores fracionários, multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.
  • Reagrupamento (comutatividade/associatividade): num produto como a\cdot b\cdot c pode-se rearranjar os fatores sem alterar o resultado; isto permite escrever produtos na ordem que facilite ver a igualdade.
  • Cancelamento: se aparecer um mesmo fator no numerador e no denominador, pode-se simplificá-lo (por exemplo \dfrac{a\cdot c}{a\cdot d}=\dfrac{c}{d}, desde que a\neq0).
  • Para provar que duas expressões NÃO são equivalentes para todo x,y,z, basta dar um contraexemplo numérico (valores específicos) que produza resultados diferentes.
  • Vou simplificar cada alternativa até uma forma canônica (por exemplo \dfrac{z(x-1)}{15 x y}) e comparar com a expressão alvo.

Passo 3

Análise da alternativa (a):
\frac{z}{15} \cdot \frac{x-1}{x y}.
Usando regra de multiplicação de frações:
\frac{z}{15} \cdot \frac{x-1}{x y} = \frac{z(x-1)}{15\cdot x y} = \frac{z(x-1)}{15 x y}.
Conclusão: (a) é equivalente à expressão alvo.

Passo 4

Análise da alternativa (b):
\frac{z-5}{15 y}.
Compare numeradores: a expressão alvo tem numerador z(x-1)=zx-z, enquanto (b) tem numerador z-5. Para as duas serem iguais para todo x,z precisaríamos ter zx - z = z - 5 identicamente, o que NÃO é verdade. Para ver com um contraexemplo numérico, escolha x=2, z=1, y=1:
  • Expressão alvo: \dfrac{(2-1)\cdot 1}{15\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{1}{30}.
  • Alternativa (b): \dfrac{1-5}{15\cdot1}=\dfrac{-4}{15}.
    São diferentes, logo (b) não é equivalente.

Passo 5

Análise da alternativa (c):
z(x-1) \cdot \frac{1}{15 x y}.
Reescrevendo o produto:
z(x-1) \cdot \frac{1}{15 x y} = \frac{z(x-1)}{15 x y}.
Conclusão: (c) é equivalente à expressão alvo.

Passo 6

Análise da alternativa (d):
\frac{1}{y} \cdot(x-1) \cdot \frac{z}{15 x}.
Reagrupar fatores (comutatividade):
\frac{1}{y}\cdot \frac{z}{15 x}\cdot (x-1) = \frac{z(x-1)}{15 x y}.
(Usei \dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{z}{15x}=\dfrac{z}{15 x y} e depois multiplica-se por (x-1).)
Conclusão: (d) é equivalente à expressão alvo.

Passo 7

Análise da alternativa (e):
\frac{5 z}{15 x}-\frac{x z}{y}.
Simplificar o primeiro termo: \dfrac{5z}{15x}=\dfrac{z}{3x}. A alternativa fica \dfrac{z}{3x}-\dfrac{xz}{y}. Isto é uma diferença entre duas frações; a expressão alvo é UMA única fração \dfrac{z(x-1)}{15 x y}. Para ver que não são iguais para todo x,y,z, usar um contraexemplo: escolha x=2, z=1, y=1:
  • Expressão alvo: \dfrac{(2-1)\cdot1}{15\cdot2\cdot1}=\dfrac{1}{30}.
  • Alternativa (e): \dfrac{1}{3\cdot2}-\dfrac{2\cdot1}{1}=\dfrac{1}{6}-2=-\dfrac{11}{6}.
    Diferentes, logo (e) não é equivalente.

Passo 8

Análise da alternativa (f):
\frac{1}{y} \cdot \frac{x-1}{15} \cdot \frac{z}{x}.
Multiplicando as frações:
\frac{1}{y}\cdot\frac{x-1}{15}\cdot\frac{z}{x} = \frac{z(x-1)}{15 x y}.
Conclusão: (f) é equivalente à expressão alvo.

Passo 9

Análise da alternativa (g):
15 \cdot \frac{z(x-1)}{x y}.
Isto é
\frac{15 z(x-1)}{x y}.
Compare com a expressão alvo \dfrac{z(x-1)}{15 x y}: a alternativa (g) é 15\cdot vezes \dfrac{z(x-1)}{x y}, enquanto a alvo é \dfrac{1}{15}\cdot aquilo; claramente não são iguais em geral. Contraexemplo: x=2,z=1,y=1 \dfrac{1}{30} para a alvo e 15\cdot\dfrac{1}{2}=7{,}5 para (g). Logo (g) não é equivalente.

Passo 10

Análise da alternativa (h):
z \cdot(x-1) \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{15} \cdot \frac{1}{x}.
Reorganizando e multiplicando os fatores:
z(x-1)\cdot\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{15}\cdot\frac{1}{x} = \frac{z(x-1)}{15 x y}.
Conclusão: (h) é equivalente à expressão alvo.

Resposta

(a)
(c)
(d)
(f)
(h)

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