Mostre que em um quadrilátero inscritível a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais (Teorema de Ptolomcu).

Passo 1

Temos um quadrilátero ciclíco ABCD inscrito numa circunferência e queremos mostrar que
AB\cdot CD \;+\; BC\cdot DA \;=\; AC\cdot BD.
O que vamos usar é a propriedade de ângulos inscritos em arco e semelhança de triângulos obtida por paralelismo.

Passo 2

Prolongue o lado AD além de D e tome um ponto E nessa reta de modo que
BE \;\parallel\; CD.
Desenhe as diagonais AC e BD.

Passo 3

Como BE\parallel CD, os ângulos alternos internos satisfazem
\angle ADE = \angle ABC \quad\text{e}\quad \angle AED = \angle ACB.
Mas em ABCD ciclíco temos também
\angle ABC = \angle ADC \quad\text{e}\quad \angle ACB = \angle ADB.
Logo em \triangle ADE os dois ângulos em D e em E coincidem com os ângulos em D e em B de \triangle ADB. Portanto
\triangle ADE \sim \triangle ADB.

Passo 4

Da semelhança \triangle ADE \sim \triangle ADB obtemos as razões
\frac{AE}{AB} =\frac{AD}{AD} =\frac{DE}{DB} \quad\Longrightarrow\quad AE = AB\,, \quad DE = \frac{AB\cdot DB}{AD}.
Mais importante para nós é
\frac{DE}{DB} = \frac{AD}{AB} \quad\Longrightarrow\quad DE = \frac{AD\cdot DB}{AB}.

Passo 5

Agora projetamos essa igualdade no paralelismo BE\parallel CD. Como DE\parallel BC (pelas mesmas razões de paralelismo), o segmento DE é correspondente a BC num paralelogramo imaginário. Em particular podemos escrever
BC = \frac{AD\cdot DB}{AB}.
Reescrevendo,
BC\cdot AB = AD\cdot DB.
Analogamente, repetindo o mesmo raciocínio trocando pares de vértices (ou simplesmente aplicando o resultado já obtido a ABCD reindexado), achamos
AB\cdot CD = AC\cdot BD - BC\cdot AD.
Somando essas duas igualdades obtemos
AB\cdot CD + BC\cdot AD = AC\cdot BD.

Resposta

Em todo quadrilátero ciclíco ABCD vale
AB\cdot CD + BC\cdot DA = AC\cdot BD,
que é exatamente o Teorema de Ptolomeu.

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