Mostre que em um quadrilátero inscritível a soma dos produtos dos lados opostos é igual ao produto das diagonais (Teorema de Ptolomcu).
Passo 1
Temos um quadrilátero ciclíco
inscrito numa circunferência e queremos mostrar que
O que vamos usar é a propriedade de ângulos inscritos em arco e semelhança de triângulos obtida por paralelismo.
Passo 2
Prolongue o lado
além de
e tome um ponto
nessa reta de modo que
Desenhe as diagonais
e
.
Passo 3
Como
, os ângulos alternos internos satisfazem
Mas em
ciclíco temos também
Logo em
os dois ângulos em
e em
coincidem com os ângulos em
e em
de
. Portanto
Passo 4
Da semelhança
obtemos as razões
Mais importante para nós é
Passo 5
Agora projetamos essa igualdade no paralelismo
. Como
(pelas mesmas razões de paralelismo), o segmento
é correspondente a
num paralelogramo imaginário. Em particular podemos escrever
Reescrevendo,
Analogamente, repetindo o mesmo raciocínio trocando pares de vértices (ou simplesmente aplicando o resultado já obtido a
reindexado), achamos
Somando essas duas igualdades obtemos
Resposta
Em todo quadrilátero ciclíco
vale
que é exatamente o Teorema de Ptolomeu.