Uma partícula é largada do alto de uma torre, e cai verticalmente. Num instante t em segundos) após a largada, a altura da partícula (distância até o chão) é dada pela função
h(t)=19,6-4,9 t^2,
em metros. Determine:
(a) a altura da torre
(b) o valor de t quando a partícula bater no solo
© a variação De da altura entre os instantes 1s e 2 s
(d) a velocidade quando a partícula atinge o solo
(e) o tempo total de queda
(f) a velocidade quando a partícula está na metade do percurso
(g) a velocidade quando a partícula está na metade do tempo de queda
(h) a aceleração.

Passo 1

O problema nos diz que a altura da partícula em função do tempo é dada por
h(t)=19,6-4,9,t^2
Estamos em uma queda livre com aceleração constante. Vamos usar conceitos de função horária da posição, resolução de equações quadráticas, derivação para obter velocidade e aceleração.

Passo 2

A altura da torre é simplesmente o valor de h(t) em t=0. Substituindo:
h(0)=19,6-4,9cdot0^2=19,6 m
Logo, a torre tem 19,6 m de altura.

Passo 3

Para descobrir quando a partícula atinge o solo, impomos h(t)=0 e resolvemos:
19,6-4,9,t^2=0
4,9,t^2=19,6Rightarrow t^2=4Rightarrow t=2 s
Desprezamos a raiz negativa pois t>=0.

Passo 4

A variação De entre t=1 s e t=2 s é
De
O sinal negativo indica que a altura diminuiu 14,7 m.

Passo 5

Para achar a velocidade em qualquer instante, derivamos h(t):
v(t)=h'(t)=-9,8,t
No impacto ( t=2 s) temos
v(2)=-9,8cdot2=-19,6 m/s

Passo 6

O tempo total de queda já foi encontrado: t=2 s.

Passo 7

Para a velocidade na metade do percurso (altura intermediária H/2=9,8 m), achamos o instante tal que
19,6-4,9,t^2=9,8Rightarrow t^2=2Rightarrow t=raiz2 s
Então
v(raiz2)=-9,8raiz2approx-13,86 m/s

Passo 8

Na metade do tempo de queda ( t=1 s) a velocidade é
v(1)=-9,8cdot1=-9,8 m/s

Passo 9

A aceleração é a derivada de v(t), que é constante:
a(t)=v'(t)=-9,8 m/s^2

Resposta

(a) 19,6 m
(b) 2 s
© –14,7 m
(d) –19,6 m/s
(e) 2 s
(f) –9,8√2 m/s (≈ –13,86 m/s)
(g) –9,8 m/s
(h) –9,8 m/s²

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