Uma partícula é largada do alto de uma torre, e cai verticalmente. Num instante
em segundos) após a largada, a altura da partícula (distância até o chão) é dada pela função
em metros. Determine:
(a) a altura da torre
(b) o valor de
quando a partícula bater no solo
© a variação
da altura entre os instantes 1s e 2 s
(d) a velocidade quando a partícula atinge o solo
(e) o tempo total de queda
(f) a velocidade quando a partícula está na metade do percurso
(g) a velocidade quando a partícula está na metade do tempo de queda
(h) a aceleração.
(a) a altura da torre
(b) o valor de
© a variação
(d) a velocidade quando a partícula atinge o solo
(e) o tempo total de queda
(f) a velocidade quando a partícula está na metade do percurso
(g) a velocidade quando a partícula está na metade do tempo de queda
(h) a aceleração.
Passo 1
O problema nos diz que a altura da partícula em função do tempo é dada por
Estamos em uma queda livre com aceleração constante. Vamos usar conceitos de função horária da posição, resolução de equações quadráticas, derivação para obter velocidade e aceleração.
Passo 2
A altura da torre é simplesmente o valor de
em
. Substituindo:
Logo, a torre tem 19,6 m de altura.
Passo 3
Para descobrir quando a partícula atinge o solo, impomos
e resolvemos:
Desprezamos a raiz negativa pois
.
Passo 4
A variação
entre
s e
s é
O sinal negativo indica que a altura diminuiu 14,7 m.
Passo 5
Para achar a velocidade em qualquer instante, derivamos
:
No impacto (
s) temos
Passo 6
O tempo total de queda já foi encontrado:
s.
Passo 7
Para a velocidade na metade do percurso (altura intermediária
m), achamos o instante tal que
Então
Passo 8
Na metade do tempo de queda (
s) a velocidade é
Passo 9
A aceleração é a derivada de
, que é constante:
Resposta
(a) 19,6 m
(b) 2 s
© –14,7 m
(d) –19,6 m/s
(e) 2 s
(f) –9,8√2 m/s (≈ –13,86 m/s)
(g) –9,8 m/s
(h) –9,8 m/s²
(b) 2 s
© –14,7 m
(d) –19,6 m/s
(e) 2 s
(f) –9,8√2 m/s (≈ –13,86 m/s)
(g) –9,8 m/s
(h) –9,8 m/s²