Sejam as retas
r: \vec{r}=(1,2,3)+t(2,-1,1), \quad s: \vec{r}=(3,1,0)+u(1,2,3) .
Determine a posiçio relativa entre r e s.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei as informações diretamente do enunciado.
  • A reta r é dada por um ponto e um vetor diretor:
    • ponto de r: (1,2,3),
    • vetor diretor de r: \vec{v}_r=(2,-1,1).
  • A reta s é dada por um ponto e um vetor diretor:
    • ponto de s: (3,1,0),
    • vetor diretor de s: \vec{v}_s=(1,2,3).
O enunciado pede determinar a posição relativa entre r e s. As possibilidades em \mathbb{R}^3 são, basicamente:
  • as retas são paralelas (os vetores diretores são múltiplos escalares),
  • as retas se intersectam (existe (t,u) tal que os pontos paramétricos coincidem),
  • ou as retas são reversas (skew): não são paralelas e não se intersectam.

Passo 2

Verificar se as retas são paralelas (ou coincidentes) — isto é, verificar se \vec{v}_r é múltiplo escalar de \vec{v}_s.
  • Teste rápido por razão componente a componente: calcular \dfrac{2}{1}=2, \dfrac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}. Como essas razões não são iguais, \vec{v}_r não é múltiplo escalar de \vec{v}_s.
  • Forma mais robusta (útil na prova): calcular o produto vetorial. Se \vec{v}_r\times\vec{v}_s=\vec{0} então são paralelos; caso contrário, não. \vec{v}_r\times\vec{v}_s= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} =\bigl((-1)\cdot3-1\cdot2,\;-(2\cdot3-1\cdot1),\;2\cdot2-(-1)\cdot1\bigr).
\vec{v}_r\times\vec{v}_s =(-5,\,-5,\,5).
Como \vec{v}_r\times\vec{v}_s\neq\vec{0}, os vetores diretores não são colineares: as retas não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, a única alternativa para deixá-las na mesma posição seria que se cruzassem. Vamos checar se existe interseção: resolver
(1,2,3)+t(2,-1,1)=(3,1,0)+u(1,2,3)
para algumas escalares t e u. Isso gera o sistema de três equações (uma por coordenada):
\begin{cases} 1+2t=3+u,\\[4pt] 2-t=1+2u,\\[4pt] 3+t=3u. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para t\) e \(u\). Reescrevendo as equações de forma linear: \[\begin{cases} 2t - u = 2,\\[4pt] t + 2u = 1,\\[4pt] t - 3u = -3. \end{cases}
  • Da segunda equação: t=1-2u\]. - Substituindo na primeira: \[2(1-2u)-u=2 \quad\Rightarrow\quad 2-4u-u=2 \quad\Rightarrow\quad -5u=0 \quad\Rightarrow\quad u=0.\] - Então \(t=1-2\cdot0=1.
Agora verificar a terceira equação com esses valores:
t-3u = 1 - 3\cdot 0 = 1,
mas a terceira equação exige que t-3u=-3. Como 1\neq -3, as três equações são incompatíveis: não existem t,u que satisfaçam simultaneamente as três. Portanto não há ponto comum entre as retas — elas não se intersectam.]

Passo 5

Interpretando os resultados: já mostramos que
  • as retas não são paralelas (Passo 2),
  • e não se intersectam (Passo 4).
Em \mathbb{R}^3, quando duas retas não são paralelas e não têm ponto de interseção, diz-se que são retas reversas (ou “skew”). É isso que ocorre aqui.

Resposta

As retas r e s são reversas (não são paralelas e não se intersectam).

Exercícios relacionados